La Spécialité Maths en Terminale

L'essentiel pour le bac

Combinatoire et dénombrement

A SAVOIR: le cours sur Combinatoire et dénombrement

Exercice 6

  • Un club d'échecs organise un tournoi interne entre ses 10 membres. Chaque joueur doit rencontrer tous les autres une seule fois. Combien doit-on organiser de parties ?
  • Un club sportif doit envoyer une délégation pour une rencontre à l'étranger. Cette délégation doit être composée de 3 femmes et 2 hommes.
    Le club possède 20 membres, 12 femmes et 8 hommes.
    Combien de délégations différentes sont-elles possibles?
  • Combien y a-t-il de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes?
  • logo de maths-bacCombien y a-t-il de mains de 5 cartes comportant exactement 2 Trèfles dans un jeu de 32 cartes?
  • logo de maths-bacCombien y a-t-il de mains de 5 cartes comportant le valet de Pique et au moins 2 Coeurs dans un jeu de 32 cartes?

Solution...
Corrigé
  • Une partie correspond à une combinaison de 2 éléments parmi 10 (les noms des 2 joueurs, l'ordre n'ayant pas d'importance).
    On calcule donc: $(\table 10; 2)={10!}/{8!×2!}={10×9}/{2×1}=45$
    Le club doit organiser $45$ parties.

  • Le choix des femmes correspond à une combinaison de 3 éléments parmi 12 (les noms des 3 femmes, l'ordre n'ayant pas d'importance).
    On calcule donc: $(\table 12; 3)={12!}/{9!×3!}={12×11×10}/{3×2×1}=220$
    Le choix des hommes correspond à une combinaison de 2 éléments parmi 8 (les noms des 2 hommes, l'ordre n'ayant pas d'importance).
    On calcule donc: $(\table 8; 2)={8!}/{6!×2!}={8×7}/{2×1}=28$
    On utilise alors le principe multiplicatif. On calcule: $220×28=6\,160$
    Il y a $6\,160$ délégations possibles.

  • Une main de 5 cartes correspond à une combinaison de 5 éléments parmi 32 (l'ordre n'ayant pas d'importance).
    On calcule donc: $(\table 32; 5)={32!}/{27!×53!}={32×31×30×29×28}/{5×4×3×2×1}=201\,376$
    Il y a $201\,376$ mains de 5 cartes dans un jeu de 32 cartes

  • Les 2 Trèfles (choisis parmi les 8) correspondent à une combinaison de 2 éléments parmi 8.
    Les 3 autres cartes (choisis parmi les 24) correspondent à une combinaison de 3 éléments parmi 24.
    On utilise alors le principe multiplicatif. On calcule: $(\table 8; 2)×(\table 24; 3)=28×2\,024=56\,672$
    Il y a $56\,672$ mains de 5 cartes comportant exactement 2 Trèfles dans un jeu de 32 cartes

  • On choisit déjà le valet de Pique.
    Puis on choisit au moins 2 Coeurs, c'est à dire soit 2, soit 3, soit 4 Coeurs parmi les 8 Coeurs.
    Et on complète avec des cartes qui ne sont ni des Coeurs, ni le valet de Pique choisies parmi les 23 cartes possibles.
    On calcule donc:
    $1×((\table 8; 2)×(\table 23; 2)+(\table 8; 3)×(\table 23; 1)+(\table 8; 4)×(\table 23; 0))=28×253+56×23+70×1=8\,442$
    Il y a $8\,442$ mains de 5 cartes comportant le valet de Pique et au moins 2 Coeurs dans un jeu de 32 cartes.
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