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Combinatoire et dénombrement

A SAVOIR: le cours sur Combinatoire et dénombrement

Exercice 7

Un joueur va recevoit une main de 5 cartes d'un jeu de 52.

  1. Quelle est la probabilité que cette main contienne au moins un as ?
  2. Quelle est la probabilité que cette main contienne un carré (c'est à dire 4 cartes de même valeur) ?
  3. Quelle est la probabilité que cette main contienne un full (c'est à dire un brelan (3 cartes de même valeur) et une paire (2 autres cartes de même valeur), par exemple 3 as et 2 rois) ?
  4. logo de maths-bacQuelle est la probabilité que cette main contienne un brelan (3 cartes de même valeur), mais pas de carré ni de full.

Solution...
Corrigé

$\text"Card Ω"=(\table 52; 5)=2\,598\,960$. Il y a équiprobabilité.

  1. Soit E: "la main ne contient pas d'as". On cherche $p(\ov{E})$.
    $\text"Card E"=(\table 48; 5)=1\,712\,304$. Donc: $p(E)={1\,712\,304}/{2\,598\,960}$
    Et par là: $p(\ov{E})=1-{1\,712\,304}/{2\,598\,960}={886\,656}/{2\,598\,960}≈0,34$
    La probabilité que la main contienne au moins un as vaut environ $0,34$.

  2. Soit C: "la main contient un carré". On cherche $p(C)$.
    Il y a 13 choix possibles pour la valeur des cartes constituant le carré (parmi As, Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).
    Cette valeur étant choisie, il ne reste plus qu'une carte à ajouter pour obtenir une main complète. Cette carte est à choisir parmi les 48 autres cartes possibles.
    Donc: $\text"Card C"=13×48=624$.
    Et par là: $p(C)={624}/{2\,598\,960}≈0,00024$
    La probabilité que la main contienne un carré vaut environ $0,0024$.

  3. Soit F: "la main contient un full". On cherche $p(F)$.
    On choisit d'abord la valeur des 3 cartes du brelan. Il y a 13 choix.
    On choisit alors ces 3 cartes de même valeur parmi les 4 possibles. Il y a $(\table 4; 3)=4$ choix possibles.
    On choisit ensuite la valeur des 2 cartes de la paire. Il reste 12 possibilités.
    Puis on choisit ces 2 cartes de même valeur. Il y a $(\table 4; 2)=6$ possibilités.
    Et par là: $\text"Card F"=13×4×12×6=3\,744$.
    Et par là: $p(F)={3\,744}/{2\,598\,960}≈0,0014$
    La probabilité que la main contienne un full vaut environ $0,0014$.

  4. Soit B: "la main contient un brelan, mais pas de carré ni de full". On cherche $p(B)$.
    On choisit d'abord la valeur des 3 cartes du brelan. Il y a 13 choix.
    On choisit alors ces 3 cartes de même valeur parmi les 4 possibles. Il y a $(\table 4; 3)=4$ choix possibles.
    On choisit ensuite les 2 autres cartes parmi les 48 possibilités restantes (et non pas 49, sinon, on risquerait d'obtenir un carré). Il y a $(\table 48; 2)=1\,128$ possibilités.
    On calcule alors: $13×4×1\,128=58\,656$.
    Et comme on ne veut pas de full, on obtient:
    $\text"Card B"=58\,656-3\,744=54\,912$
    Et donc: $p(B)={54\,912}/{2\,598\,960}≈0,021$
    La probabilité que la main contienne un un brelan, mais pas de carré ni de full vaut environ $0,021$.
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