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Combinatoire et dénombrement

A SAVOIR: le cours sur Combinatoire et dénombrement

Exercice 8

On jette 6 fois de suite une pièce équilibrée.

  1. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 5 fois "Pile" ?
  2. Quelle est la probabilité d'obtenir plus de "Pile" que de "Face"?
  3. Quelle est la probabilité d'obtenir autant de "Pile" que de "Face"?
  4. logo de maths-bacQuelle est la probabilité d'obtenir plus de 4 "Pile" consécutifs ou plus de 4 "Face" consécutifs

Solution...
Corrigé

L'univers est l'ensemble des 6-uplets de l'ensemble $\{P,F\}$
$\text"Card Ω"=2^6=64$. Il y a équiprobabilité.

  1. Soit A: "on obtient au moins cinq P". On cherche $p(A)$.
    On cherche tous les 6_uplets contenant 5 P et 1 F ou 6 P. Un tel 6_uplet est caractérisé par les rangs des P (l'ordre n'intervient pas), donc par une combinaison de 5 éléments parmi 6, ou de 6 éléments parmi 6.
    Par conséquent: $\text"Card A"=(\table 6; 5)+(\table 6; 6)=6+1=7$.
    Donc: $p(A)={7}/{64}$

  2. Soit B: "on obtient plus de P que de F". On cherche $p(B)$.
    On cherche tous les 6_uplets contenant 4 P et 2 F, ou 5 P et 1 F, ou 6 P. Comme précédemment, on obtient:
    $\text"Card B"=(\table 6; 4)+(\table 6; 5)+(\table 6; 6)=15+6+1=22$.
    Donc: $p(B)={22}/{64}={11}/{32}$

  3. Soit C: "on obtient plus de F que de P", et D: on obtient autant de P que de F"
    $\{B,C,D\}$ est une partition de $Ω$, et il est clair que $p(B)=p(C)$.
    On obtient donc: $p(D)=1-2p(B)=1-2{11}/{32}={10}/{32}$
    La probabilité d'obtenir autant de "Pile" que de "Face" vaut ${10}/{32}$

  4. Supposons que l'on ait une série d'au moins 4 P. Elle contient donc une série d'exactement 4 P, ou 5 P, ou 6 P.
    Les 6-uplets favorables sont alors:
    pour 4 P: (P,P,P,P,F,P), (P,P,P,P,F,F), (F,P,P,P,P,F), (F,F,P,P,P,P), (P,F,P,P,P,P),
    pour 5 P: (P,P,P,P,P,F), (F,P,P,P,P,P)
    pour 6 P: (P,P,P,P,P,P)
    Soit 8 cas en tout.
    Et on en trouve autant si l'on cherche les séries d'au moins 4 F.
    Par additivité, on obtient donc 16 cas favorables.
    Donc la probabilité d'obtenir plus de 4 "Pile" consécutifs ou plus de 4 "Face" consécutifs est ${16}/{64}=0,25$
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