Continuité
A SAVOIR: le cours sur la continuité
Exercice 1
- Montrer que, si $x≥0$, alors $2e^{2x+1}-1>0$.
- Soit $f$ la fonction définie sur $\[0;1\]$ par $f(x)=e^{2x+1}-x$.
Montrer que l'équation $f(x)=10$ admet une solution unique α sur $\[0;1\]$.
- Compléter le programme suivant (lignes 8 et 10) pour que la fonction sol_balayage(delta) retourne une liste de deux nombres $a$ et $b$ encadrant $α$ et vérifiant $|b-a|≈$delta.
Après exécution du programme, que s'affiche-t-il dans la console ?
- Compléter le programme suivant (lignes 10, 11 et 15) pour que la fonction sol_dichotomie(delta) retourne une liste de deux nombres $a$ et $b$ encadrant $α$ et vérifiant $|b-a|≤$delta.
Après exécution du programme, que s'affiche-t-il dans la console ?
Solution...
Corrigé
- Si $x≥0$, alors $2x+1≥2×0+1$. Soit: $2x+1≥1$.
Donc: $e^{2x+1}≥e^1$ (par croissance de la fonction exponentielle).
Et par là: $2e^{2x+1}-1≥2×e-1$.
Et comme $2e-1≈4,4$, on obtient: $2e^{2x+1}-1>0$.
- Soit $f$ la fonction définie sur $\[0;1\]$ par $f(x)=e^{2x+1}-x$.
On a: $f'(x)=2e^{2x+1}-1$.
Et par là, d'après le résultat précédent, la fonction $f'$ est strictement positive.
Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $\[0;1\]$.
Or, $f$ est continue (elle résulte d'opérations et de composée de fonctions continues).
Et de plus, $10$ est compris entre $f(0)≈2,7$ et $f(1)≈19,1$.
Les 3 conditions du théorème de la bijection sont vérifiées.
Donc l'équation $f(x)=10$ admet une unique solution α sur $\[0;1\]$.
- Voici le programme complété.
Il s'affiche [0.6800000000000004, 0.6900000000000004] après exécution.
On a: $delta=0,01$, $a≈0.68$ et $b≈0.69$.
On note que: $|b-a|≈0,01$, et par là, on a bien: $|b-a|≈$delta.
L'algorithme utilisé pour encadrer $α$ est un algorithme de balayage (l'intervalle d'encadrement est balayé progressivement jusqu'à détection de l'encadrement désiré).
- Voici le programme complété.
Il s'affiche [0.6796875, 0.6875] après exécution.
On a: $delta=0,01$, $a≈0.6796875$ et $b≈0.6875$.
On note que: $|b-a|≈0,008$, et par là, on a bien: $|b-a|≤$delta.
L'algorithme utilisé pour encadrer $α$ est un algorithme de dichotomie (l'intervalle d'encadrement a été coupé en deux à chaque itération).
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