Corrigé

1.a. Comme $"0">2\text{>}0$ et $\underset{\mathit{x}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{x}-1=+\mathit{\infty }$ et $\underset{\mathit{x}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{e}}^{\mathit{x}}=+\mathit{\infty }$,
on en déduit que $\underset{\mathit{x}\to +\mathit{\infty }}{\lim }2\left(\mathit{x}-1\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}}=+\mathit{\infty }$ (limite d'un produit).
Et comme $\underset{\mathit{x}\to +\mathit{\infty }}{\lim }1=1$, on obtient $\underset{\mathit{x}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=+\mathit{\infty }$ (limite d'une somme).

1.b. Pour montrer que la droite $\mathit{d}$ d'équation $\mathit{y}=1$ est asymptote à ${\mathrm{C}}_{\mathit{f}}$ en $-\mathit{\infty }$, il suffit de montrer que $\underset{\mathit{x}\to -\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=1$.
Pour lever l'indétermination en $-\mathit{\infty }$, on développe $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$.
On a $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=2\mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}-2{\mathit{e}}^{\mathit{x}}+1$.
On sait que $\underset{\mathit{x}\to -\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}=0$, $\underset{\mathit{x}\to -\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{e}}^{\mathit{x}}=0$, et $\underset{\mathit{x}\to -\mathit{\infty }}{\lim }1=1$.
D'où $\underset{\mathit{x}\to -\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=2\times 0-2\times 0+1=1$.
Donc $\mathit{d}$ est bien asymptote à ${\mathrm{C}}_{\mathit{f}}$ en $-\mathit{\infty }$,

1.c. Pour étudier la position de ${\mathit{C}}_{\mathit{f}}$ (d'équation $\mathit{y}=\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$) par rapport à $\mathit{d}$ (d'équation $\mathit{y}=1$), on détermine le signe de $\mathit{\delta }=\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)-1$.
On a: $\mathit{\delta }=\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)-1=2\left(\mathit{x}-1\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}}+1-1=2\left(\mathit{x}-1\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}}$.
Or $2$>$0$, et ${\mathit{e}}^{\mathit{x}}$>$0$. Donc le produit $\mathit{\delta }=2\left(\mathit{x}-1\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}}$ est du signe de $\mathit{x}-1$.
Si $\mathit{x}$<$1$, alors $\mathit{\delta }$<$0$, et par là, ${\mathrm{C}}_{\mathit{f}}$ est en dessous de $\mathit{d}$.
Si $\mathit{x}=1$, alors $\mathit{\delta }=0$, et ${\mathit{C}}_{\mathit{f}}$ et $\mathit{d}$ sont sécantes.
Si $\mathit{x}$>$1$, alors $\mathit{\delta }$>$0$, et par là, ${\mathrm{C}}_{\mathit{f}}$ est au dessus de $\mathit{d}$.

2. On pose $\mathit{f}=\mathit{u}\mathit{v}+1$ avec $\mathit{u}=2\left(\mathit{x}-1\right)$ et $\mathit{v}={\mathit{e}}^{\mathit{x}}$.
D'où $\mathit{f}\prime =\mathit{u}\prime \mathit{v}+\mathit{u}\mathit{v}\prime +0$ avec $\mathit{u}\prime =2\times 1=2$ et $\mathit{v}\prime ={\mathit{e}}^{\mathit{x}}$.
Donc $\mathit{f}\prime \left(\mathit{x}\right)=2{\mathit{e}}^{\mathit{x}}+2\left(\mathit{x}-1\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}}=2\left(1+\mathit{x}-1\right){\mathit{e}}^{\mathit{x}}=2\mathit{x}{\mathit{e}}^{\mathit{x}}$.
Comme $2$ et ${\mathit{e}}^{\mathit{x}}$ sont strictement positifs, $\mathit{f}\prime \left(\mathit{x}\right)$ est du signe de $\mathit{x}$.
Donc $\mathit{f}\prime$ est strictement négative sur $]-\mathit{\infty };0[$, nulle en $0$, et strictement positive sur $]0;+\mathit{\infty }[$.

3. Notons que $\mathit{f}\left(0\right)=2\times \left(0-1\right){\mathit{e}}^0+1=-2+1=-1$
On donne ci-dessous le tableau de variation de $\mathit{f}$.
On y a reporté les limites trouvées à la question 1.


4. D'après ce tableau de variation, la fonction $\mathit{f}$ est continue et strictement décroissante sur $]-\mathit{\infty };0]$.
Or, comme $\underset{\mathit{x}\to -\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=1$ et $\mathit{f}\left(0\right)=-1$, on a: $"0\backslash text">"f(0)">\underset{\mathit{x}\to -\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)\text{>}0\text{>}\mathit{f}\left(0\right)$.
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=0$ admet une unique solution $\mathit{a}$ sur $]-\mathit{\infty };0]$.

D'après ce tableau de variation, la fonction $\mathit{f}$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\mathit{\infty }[$.
Or on a: et $\underset{\mathit{x}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=+\mathit{\infty }$.
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=0$ admet une unique solution $\mathit{b}$ sur $[0;+\mathit{\infty }[$.

Finalement, l'équation (1) admet exactement 2 solutions dans $\mathrm{ℝ}$.

5. A l'aide d'une calculatrice, on obtient:
$\mathit{f}\left(-1,68\right)\approx {1.10}^{-3}$ et $\mathit{f}\left(-1,675\right)\approx -{2.10}^{-3}$ et $\mathit{f}\left(-1,67\right)\approx -{5.10}^{-3}$.
D'où $\mathit{a}\approx -1,68$ (arrondie au centième).

$\mathit{f}\left(0,76\right)\approx -0,026$ et $\mathit{f}\left(0,765\right)\approx -0,01$ et $\mathit{f}\left(0,77\right)\approx 6,{5.10}^{-3}$.
D'où $\mathit{b}\approx 0,77$ (arrondie au centième).