Concentration, loi des grands nombres
A SAVOIR: le cours sur Concentration, loi des grands nombres
Exercice 1
$20\%$ des habitants d'un pays sont atteints par un virus C.
$1000$ personnes rentrent dans une salle de spectacle.
La population du pays est suffisamment importante pour assimiler l'entrée de chaque personne à un tirage aléatoire avec remise.
Soit S la variable aléatoire comptant le nombre de personnes malades obtenus sur les 1000 personnes.
Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que: : $p(174$<$S$<$226)≥076,$
Calculer directement $p(174$<$S$<$226)$ et vérifier le résultat précédent.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est-elle optimale?
Corrigé
On assimile l'entrée de chaque personne à un tirage aléatoire avec remise.
La variable aléatoire S suit donc la loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=0,20$.
On a alors: $μ=E(S)=n×p=1000×0,20=200$ et $V(S)=n×p×(1-p)=1000×0,20×0,80=160$
Par ailleurs, on note que: : $174$<$S$<$226$ $ ⇔$ $|S-200|$<$26$
Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a: : $p(|S-μ|≥δ)≤{V(S)}/{δ^2}$
Soit, en posant $δ=26$: $p(|S-200|≥26)≤{160}/{26^2}$
Et donc: $p(|S-200|≥26)≤a$ avec $a≈0,237$
Et par là: $p(|S-200|$<$26)≥1-a$
Soit: $p(174$<$S$<$226)≥1-a$ avec $1-a≈0,763$
Et donc: $p(174$<$S$<$226)≥0,76$
On calcule directement: $p(174$<$S$<$226)= p(S≤225)-p(S≤174)≈0,977-0,021≈0,96$
Le résultat est largement supérieur à 0,76.
On constate que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est pas optimale!