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L'essentiel pour le bac

Concentration, loi des grands nombres

A SAVOIR: le cours sur Concentration, loi des grands nombres

Exercice 1

$20\%$ des habitants d'un pays sont atteints par un virus C.
$1000$ personnes rentrent dans une salle de spectacle.
La population du pays est suffisamment importante pour assimiler l'entrée de chaque personne à un tirage aléatoire avec remise.
Soit S la variable aléatoire comptant le nombre de personnes malades obtenus sur les 1000 personnes.
Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que: :  $p(174$<$S$<$226)≥076,$
Calculer directement $p(176$<$S$<$234)$ et vérifier le résultat précédent.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est-elle optimale?

Solution...
Corrigé

On assimile l'entrée de chaque personne à un tirage aléatoire avec remise.
La variable aléatoire S suit donc la loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=0,20$.
On a alors:  $μ=E(S)=n×p=1000×0,20=200$  et  $V(S)=n×p×(1-p)=1000×0,20×0,80=160$
Par ailleurs, on note que: :  $174$<$S$<$226$ $ ⇔$ $|S-200|$<$26$
Or, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a: :  $p(|S-μ|≥δ)≤{V(S)}/{δ^2}$
Soit, en posant $δ=26$:   $p(|S-200|≥26)≤{160}/{26^2}$
Et donc:    $p(|S-200|≥26)≤a$ avec $a≈0,237$
Et par là:    $p(|S-200|$<$26)≥1-a$
Soit: $p(174$<$S$<$226)≥1-a$ avec $1-a≈0,763$
Et donc: $p(174$<$S$<$226)≥0,76$

On calcule directement: $p(174$<$S$<$226)= p(S≤225)-p(S≤174)≈0,977-0,021≈0,96$
Le résultat est largement supérieur à 0,76.
On constate que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est pas optimale!

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