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Concentration, loi des grands nombres

A SAVOIR: le cours sur Concentration, loi des grands nombres

Exercice 2

Une élection oppose deux candidats A et B.
Soit $p$ la proportion d'électeurs, dans la population totale, décidés à voter pour le candidat A.
On souhaite estimer cette proportion $p$ inconnue .
On effectue un sondage auprès de $n$ personnes. On suppose que chaque personne interrogée donne son intention réelle de vote.
La population est suffisamment importante pour assimiler le choix de chaque personne à un tirage aléatoire avec remise.
On note $X_i$ la variable aléatoire qui vaut 1 si la i-ème personne interrogée vote pour A, et 0 sinon.
Soit la moyenne: $M_n={X_1+X_2+...+X_n}/{n}$.

  1. Montrer que, pour tout $p$ dans [0;1], on a: $p(1-p)≤{1}/{4}$
  2. De quelle nature sont chacune des $X_i$? Donner leur espérance et leur variance.
  3. Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que:
    pour tout réel $δ$ strictement positif, on a: $p(M_n-δ$<$p$<$M_n+δ)≥1-{1}/{4nδ^2}$
    On dit alors que l'intervalle $I =]M_n-δ;M_n+δ[$ est un intervalle de confiance pour $p$ au niveau de confiance supérieur ou égal à $1-{1}/{4nδ^2}$
  4. Le sondage donne une fréquence de votants pour A égale à $55\%$.
    Un intervalle de confiance pour $p$ est alors $]0,55-δ;0,55+δ[$.
    On veut que cet intervalle de confiance soit à un niveau supérieur ou égal à $0,95$.
    Montrer que $δ≥a$ avec $a≈0,0707$.
  5. On prend $δ=0,071$. Donner alors l'intervalle de confiance de $p$.
    Peut-on affirmer que $p$ est strictement supérieur à $50\%$ avec un niveau de confiance supérieur à 0,95?
  6. Le candidat A souhaite que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit de $4\%$ maximum. Combien de personnes doit-on interroger au minimum?
Solution...
Corrigé
  1. Montrer que, pour tout $p$ dans [0;1], on a: $p(1-p)≤{1}/{4}$
  2. De quelle nature sont chacune des $X_i$? Donner leur espérance et leur variance.
  3. Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que: :  $p(M_n-δ$<$p$<$M_n+δ)≥1-{1}/{4nδ^2}$
    On dit alors que l'intervalle $I =]M_n-δ;M_n+δ[$ est un intervalle de confiance pour $p$ au niveau supérier ou égal à $1-{1}/{4nδ^2}$
  4. Le sondage donne une fréquence de votants pour A égale à $54\%$.
    On veut que l'intervalle de confiance pour $p$ ]0,55-δ;0,55+δ[$ soit à un niveau supérieur ou égal à $0,95$.
    Montrer que $δ≥a$ avec $a≈0,0707$.
  5. On prend $δ=0,071$. Donner alors l'intervalle de confiance de $p$.
    Peut-on affirmer que $p$ eststrictement supérieur à $50\%$ avec un niveau de confiance supérieur à 0,95?
  6. Le candidat A souhaite que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit de $4\%$ maximum. Combien de personnes doit-on interroger au minimum?
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