Concentration, loi des grands nombres
A SAVOIR: le cours sur Concentration, loi des grands nombres
Exercice 3
Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,7$
- Montrer à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que:
$p(|X-350|≥21)≤0,24$ - Déterminer la valeur de $p(|X-350|≥21)$ arrondie à 0,001 près.
- Ecrire en PYTHON une fonction Lbin() qui renvoie une liste de 0 et de 1 simulant une succession de 500 expériences de Bernoulli de paramètre $p=0,7$.
On notera que la fonction Lbin() renvoie donc un échantillon de taille 500 associé à la loi de Bernoulli de paramètre 0,7. - Compléter le programme précédent par une fonction simul(n) qui produit n échantillons de taille 500 associés à la loi de Bernoulli de paramètre 0,7.
Si x est le nombre de 1 dans l'échantillon courant, alors la fonction simul(n) doit retourner le pourcentage d'échantillons qui vérifient $|x-350|≥21$. - Candide a obtenu l'affichage suivant:
simul(10)=0.0 simul(100)=0.05 simul(1 000)=0.035
simul(10 000)=0.0435 simul(100 000)=0.04419
Quel résultat bien connu ces nombres semblent-ils confirmer?
Soyez précis dans vos explications...
Corrigé
- La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,7$.
On a alors: $μ=E(X)=n×p=500×0,7=350$ et $V(X)=n×p×(1-p)=500×0,7×0,3=105$
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a: : $p(|X-μ|≥δ)≤{V(X)}/{δ^2}$
Soit, en posant $δ=21$: $p(|X-350|≥21)≤{105}/{21^2}$
Or: ${350}/{21^2}≈0,238$
Et par là: $p(|X-350|≥21)≤0,24$ - On a: $p(|X-350|≥21)=1-p(|X-350|<21)$
Or: $p(|X-350|<21)=p(330≤X≤370)$
Soit: $p(|X-350|<21)=p(X≤370)-p(X≤329)≈0,9784-0,0237≈0,955$
Et par là: $p(|X-350|≥21)≈1-0,955≈0,045$
Le résultat est largement inférieur à la valeur de 0,24 trouvée au 1.
On constate que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est pas optimale! - Voici un programme convenable.
La ligne 11, non demandée, imprime une liste de 0 et de 1, correspondant à un échantillon de taille 500 associé à la loi de Bernoulli de paramètre 0,7. - Voici un programme convenable.
La ligne 19, non demandée, imprime le pourcentage d'échantillons parmi 100 dont le nombre x de succès vérifie $|x-350|≥21$
Dans mon cas, il s'est affiché 0.05 dans la console.
Cela signifie que 5% des 100 échantillons possédaient soit au moins 329 succès, soit au maximum 371 succès. Ces échantillons avaient donc un nombre succès assez éloigné du nombre espéré qui est de 350. - Posons : $p_B=p(|X-350|≥21)≈0,045$.
On constate que, plus $n$ augmente, plus la valeur de simul(n) se rapproche de $p_B$.
Ne pas confondre $p$ et $p_B$ dans ce qui suit !
Explication.
On considère l'expérience consistant à produire un échantillon de taille 500 associé à la loi de Bernoulli de paramètre $p=0,7$.
Si x est le nombre de 1 dans l'échantillon, et si $|x-350|≥21$, alors l'expérience est un succès. Sinon c'est un échec.
Soit B la variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès, et qui prend la valeur 0 en cas d'échec.
On a alors: $p(B=1)=p_B≈0,045$
Et la variable aléatoire B suit donc la loi de Bernoulli de paramètre $p_B$
On peut alors considérer que simul(n) renvoie la variable aléatoire moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille n de la variable aléatoire B.
Or la variable aléatoire de Bernoulli B a pour espérance $μ=p_B≈0,045$.
Les nombres affichés traduisent alors le fait que, pour n'importe quel nombre $δ$ strictement positif, $\lim↙{n→+∞}p(|M_n-μ|≥δ)=0$ .
C'est à dire ici: $\lim↙{n→+∞}p(|M_n-p_B|≥δ)=0$ .
C'est la loi faible des grands nombres.
Quelques explications complémentaires...
Dans un échantillon de taille 500 associé à la loi de Bernoulli de paramètre 0,7, le nombre de succès espéré est de 350.
Appelons "échantillon hors norme" un échantillon dont le nombre de succès s'éloigne de 350 d'au moins 21.
La probabilité d'obtenir un échantillon "hors norme" est $μ=p_B≈0,045$.
Sur n échantillons, la proportion d'échantillons "hors norme" est donnée par la variable aléatoire $M_n$.
La loi faible des grands nombres traduit le fait que, plus n augmente, plus il est probable que $M_n$ soit proche de $μ$.