Intégrales
A SAVOIR: le cours sur les intégrales
Exercice 4
Soit $f$ définie par $f(x)=0,5 x^2-x+1$ de courbe représentative $C$ dans un repère orthogonal (unités: 1,2 cm sur l'axe des abscisses, 0,6 cm sur l'axe des ordonnées).
- Montrer que $f$ est continue et positive sur $[1;3]$.
- On considère le domaine $D=${$M(x;y)$/$1≤x≤3$ et $0≤y≤f(x)$}.
Représenter graphiquement $C$ pour $x$ dans $[0;3,3]$ et hachurer $D$. - Déterminer l'aire $A$ du domaine $D$ (en $cm^2$).
Corrigé
- La fonction $f$ est un trinôme; c'est une fonction usuelle. Elle est donc continue.
Avec les conventions habituelles: $a=0,5$, $b=-1$ et $c=1$. $\Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4×0,5×1=1-2=-1$.
$\Δ<0$, et par là, $f(x)$ est du signe de $a$, c'est à dire strictement positif, pour tout $x$.
- $f$ étant un trinôme, $C$ est donc une parabole.
Son sommet a pour abscisse ${-b}/{2a}={1}{2×0,5}=1$.
Comme $a>0$, $f$ est d'abord décroissante, puis croissante.
Quelques valeurs permettent de tracer la courbe ci-dessous.
Le domaine $D$ est la partie hachurée sous la courbe.
3. La fonction $f$ étant continue et positive sur $[1;3]$, on a: $$A=∫_{1}^3 f(t)dt$$.
Soit: $$A=∫_{1}^3 (0,5 x^2-x+1)dx=[0,5 x^3/3-x^2/2+x]_1^3=(0,5 3^3/3-3^2/2+3)-(0,5 1^3/3-1^2/2+1)$$.
Soit: $$A=(0,5×9-4,5+3)-(0,5 1/3-0,5+1)=4,5-4,5+3-{0,5}/3+0,5-1$$.
Soit: $$A=2,5-{0,5}/3=5/2-1/6=15/6-1/6=14/6=7/3$$.
Donc l'aire $A$ est égale à $7/3$ unités d'aire.
Or: $1,2×0,6=0,72$. Donc une unité d'aire mesure 0,72 $cm^2$ (c'est la surface du rectangle hachuré).
Et comme $7/3×0,72=1,68$, l'aire $A$ vaut $1,68$ $cm^2$