Corrigé

1. $f(x)=x^2+x+{19}/{x}$.
   Comme $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$, $\lim↙{x→+∞}x=+∞$, et $\lim↙{x→+∞}{19}/{x}=0$,
   on obtient: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme).
   
   On obtient facilement $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→-∞}x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors le terme "dominant" de la somme $x^2+x$.
   On a: $x^2+x=x^2(1+{1}/{x})$.
   Or $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$, et $\lim↙{x→-∞}1+{1}/{x}=1+0=1$.
   Donc $\lim↙{x→-∞}x^2+x=+∞$ (limite d'un produit).
   Par ailleurs $\lim↙{x→-∞}{19}/{x}=0$
   Donc $\lim↙{x→-∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme).


2. $f(x)={x-1}/{x^2+7}+5$.
   On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}x-1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}x^2+7=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors les termes "dominants" du quotient et on simplifie.
   $f(x)={x(1-{1}/{x})}/{x^2(1+{7}/{x^2})}+5={1}/{x}{1-{1}/{x}}/{1+{7}/{x^2}}+5$.
   $\lim↙{x→+∞}f(x)=0×{1-0}/{1+0}+5=5$ (opérations sur les limites).
   Donc la droite horizontale d'équation $y=5$ est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $+∞$.


3. $f(x)=√{x^2-x+9}$
   On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors le terme "dominant" de la somme $x^2-x+9$.
   $x^2-x+9=x^2(1-{1}/{x}+{9}/{x^2})$.
   Comme $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}1-{1}/{x}+{9}/{x^2}=1-0+0=1$,
   on obtient: $\lim↙{x→+∞}x^2-x+9=+∞$.
   Or: $\lim↙{y→+∞}√{y}=+∞$.
   Donc: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'une composée).