Limites de fonctions
A SAVOIR: le cours sur les limites de fonctions
Exercice 3
Un exercice classique sur les calculs de limites.
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Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={8}/{1+2e^{-0,04x}}$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}g(x)$ et $\lim↙{x→-∞}g(x)$.
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Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(x+1)e^{x}$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$ et $\lim↙{x→-∞}f(x)$.
En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\C_f$.
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Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(x+2)e^{-x}$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$ et $\lim↙{x→-∞}f(x)$.
En déduire les éventuelles asymptotes de la courbe $\C_f$.
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Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=3xe^{-{1}/{4}x}+5$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
Interpréter le résultat.
Solution...
Corrigé
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$g(x)={8}/{1+2e^{-0,04x}}$.
Comme $\lim↙{x→+∞}-0,04x=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}e^y=0$,
on obtient $\lim↙{x→+∞}e^{-0,04x}=0$ (limite d'une composée).
D'où $\lim↙{x→+∞}g(x)={8}/{1+2×0}=8$.
Comme $\lim↙{x→-∞}-0,04x=+∞$ et $\lim↙{y→+∞}e^y=+∞$,
on obtient $\lim↙{x→+∞}e^{-0,04x}=+∞$ (limite d'une composée).
D'où $\lim↙{x→+∞}1+2e^{-0,04x}=+∞$.
Et par là $\lim↙{x→-∞}g(x)=0$ (limite d'un quotient).
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$f(x)=(x+1)e^{x}$.
Comme $\lim↙{x→+∞}x+1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$,
on obtient $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.
On obtient facilement $\lim↙{x→-∞}x+1=-∞$ et $\lim↙{x→-∞}e^x=0$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On développe alors le produit $f(x)$.
$f(x)=xe^x+e^x$.
Comme $\lim↙{x→-∞}xe^x=0$ et $\lim↙{x→-∞}e^x=0$,
on obtient $\lim↙{x→-∞}f(x)=0$ (limite d'une somme).
Donc la droite horizontale d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $-∞$.
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$f(x)=(x+2)e^{-x}$.
Comme $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}e^{y}=0$, on obtient $\lim↙{x→+∞}e^{-x}=0$.
On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}x+2=+∞$. Comme $\lim↙{x→+∞}e^{-x}=0$, cela conduit à une forme indéterminée.
On développe alors le produit $f(x)$.
$f(x)=xe^{-x}+2e^{-x}=-(-xe^{-x})+2e^{-x}$.
Comme $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}ye^y=0$, on obtient $\lim↙{x→+∞}-xe^{-x}=0$.
Donc $\lim↙{x→+∞}f(x)=-0+2×0=0$.
Donc la droite horizontale d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $+∞$.
Comme $\lim↙{x→-∞}-x=+∞$ et $\lim↙{y→+∞}e^{y}=+∞$, on obtient $\lim↙{x→-∞}e^{-x}=+∞$.
Par ailleurs: $\lim↙{x→-∞}x+2=-∞$.
D'où: $\lim↙{x→-∞}f(x)=-∞$ (limite d'un produit).
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$f(x)=3xe^{-{1}/{4}x}+5$.
Comme $\lim↙{x→+∞}{-{1}/{4}x}=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}e^{y}=0$, on obtient $\lim↙{x→+∞}e^{-{1}/{4}x}=0$.
Mais comme $\lim↙{x→+∞}3x=+∞$, cela conduit à une forme indéterminée.
On fait apparaître ${-{1}/{4}x}$ devant l'exponentielle pour utiliser la limite de $ye^y$ en $-∞$.
On a: $f(x)=-12×{-{1}/{4}x}e^{-{1}/{4}x}+5$.
Comme $\lim↙{x→+∞}{-{1}/{4}x}=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}ye^{y}=0$, on obtient $\lim↙{x→+∞}{-{1}/{4}x}e^{-{1}/{4}x}=0$.
Par conséquent: $\lim↙{x→+∞}f(x)=-12×0+5=5$
Donc la droite horizontale d'équation $y=5$ est une asymptote de la courbe $\C_f$ en $+∞$.
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