Fonction logarithme népérien
A SAVOIR: le cours sur la fonction ln
Exercice 2
Soit $x$ un nombre réel.
Déterminer le signe de $a=-3\ln (x^2+1)-e^{-5x}$, de $b=\ln{1}/{e^x+2}$.
Corrigé
$x^2≥0$ (c'est un carré), donc $x^2+1\text">"1$, donc $\ln (x^2+1)\text">"0$, et donc $-3\ln (x^2+1)\text"<"0$.
De plus, $e^{-5x}\text">"0$ (c'est une exponentielle), et par là $-e^{-5x}\text"<"0$ .
Finalement, $a$ est une somme algébrique de deux termes strictement négatifs, et par là: $a\text"<"0$ .
$e^{x}\text">"0$ (c'est une exponentielle), et par là $e^{x}+2\text">"2$ .
Donc ${1}/{e^x+2}\text"<"{1}/{2}$, et par là ${1}/{e^x+2}\text"<"1$, et donc $\ln{1}/{e^x+2}\text"<"0$, soit $b\text"<"0$.