Corrigé

1. On doit avoir $-3x+1\text">"0$, soit $-3x\text">"-1$, soit $x\text"<"{-1}/{-3}$, soit $x\text"<"{1}/{3}$. Donc $\D_E=]-∞;{1}/{3}[$.
   $\ln(-3x+1)=6⇔e^{\ln(-3x+1)}=e^6⇔-3x+1=e^6⇔-3x=e^6-1⇔x={e^6-1}/{-3}={1-e^6}/{3}$.
   Donc $\S=\{{1-e^6}/{3}\}$.   Notons que ${1-e^6}/{3}≈-134$ est bien dans $\D_E$.


2. On doit avoir $x+3\text">"0$, soit $x\text">"-3$. Donc $\D_E=]-3;+∞[$.
   $\ln(x+3)+1≤3⇔\ln(x+3)≤3-1⇔\ln(x+3)≤2⇔e^{\ln(x+3)}≤e^2⇔x+3≤e^2⇔x≤e^2-3$
   Donc $\S=]-3;e^2-3[$.   Notons que $e^2-3≈4,39$.


3. On doit avoir $x+2\text">"0$, soit $x\text">"-2$.
   On doit avoir $x-1\text">"0$, soit $x\text">"1$.
   On doit avoir $2x+10\text">"0$, soit $x\text">"-5$.
   Donc, finalement: $\D_E=]1;+∞[$.
   (E)$⇔\ln(x+2)(x-1)=\ln(2x+10)⇔(x+2)(x-1)=2x+10⇔x^2-x-12=0$.
   C'est un trinôme, de discriminant $49$, admettant 2 racines $-3$ et $4$.
   La solution $-3$ est à rejeter car elle n'appartient pas à $\D_E$. Donc $\S=\{4\}$.


4. On doit avoir $(x+2)(x-1)\text">"0$.
   Le membre de gauche est un trinôme ($x^2+x-2$) de racines $-2$ et $1$, à coefficient dominant $1$ strictement positif.
   Il est donc strictement positif sur $]-∞;-2[$ dune part, et sur $]1;+∞[$ d'autre part.
   Par ailleurs, on doit aussi avoir $2x+10\text">"0$, soit $x\text">"-5$.
   Donc, finalement: $\D_E=]-5;-2[∪]1;+∞[$.
   (E)$⇔(x+2)(x-1)=2x+10⇔x^2-x-12=0$.
   C'est un trinôme, de discriminant $49$, admettant 2 racines $-3$ et $4$.
   Ces 2 valeurs appartiennent à $\D_E$. Donc $\S=\{-3;4\}$.
   Comparer cette question à la précédente; cela fait réfléchir!