Fonction logarithme népérien
A SAVOIR: le cours sur la fonction ln
Exercice 6
Soit $\C$ la courbe représentative de $f(x)=3\ln (x^2+1)-x^3+3,6x+0,8$.
Déterminer une équation de $d$, tangente à $C$ en 2.
Présenter cette équation sous la forme $y=ax+\ln b$,
où $a$ est un réel quelconque, et $b$ un réel strictement positif.
Corrigé
On a $f\,'(x)=3{2x}/{x^2+1}-3x^2+3,6$.
$d$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=2$,
$f(x_0)=3\ln (2^2+1)-2^3+3,6×2+0,8=3\ln 5-8+7,2+0,8=3\ln 5$.
$f\,'(x_0)=3{2×2}/{2^2+1}-3×2^2+3,6=2,4-12+3,6=-6$.
D'où l'équation de $d$: $y=3\ln 5-6(x-2)$.
Soit: $y=3\ln 5-6x+12$, soit: $y=-6x+3\ln 5+12$.
Soit: $y=-6x+\ln 5^3+12\ln e$, soit: $y=-6x+\ln 125+\ln e^{12}$.
Soit: $y=-6x+\ln (125e^{12})$.
L'équation de la tangente $d$ est bien sous la forme demandée avec $a=-6$ et $b=125e^{12}$.