Probabilités
A SAVOIR: le cours sur Sommes de variables aléatoires
Exercice 1
On fait marcher 2 machines à sous successivement.
Pour la première, on mise 10 euros. Soit on perd sa mise, soit on récupère 100 euros (le gain net est alors de 90 euros). La probabilité de gagner est de $0,02$
Pour la seconde, on mise 1 euros. Soit on perd sa mise, soit on récupère 8 euros (le gain net est alors de 7 euros). La probabilité de gagner est de $0,01$
Soit X la variable aléatoire donnant le gain net avec la première machine.
Soit Y la variable aléatoire donnant le gain net avec la seconde machine.
Soit Z la variable aléatoire donnant le gain net total.
- Déterminer les lois de probabilité de X, de Y et de Z (ne pas arrondir les valeurs trouvées).
- Déterminer les espérances $E(X)$, $E(Y)$ et $E(Z)$.
- Déterminer les variances $V(X)$, $V(Y)$.
- En déduire $V(Z)$, puis retrouver cette valeur autrement.
Corrigé
- On a: $X(\Ω)=\{-10 ; 90\}$
$p(X=90)=0,02$ $p(X=-10)=0,98$
On a: $Y(\Ω)=\{-1 ; 7\}$
$p(Y=7)=0,01$ $p(Y=-1)=0,99$
On a: $Z(\Ω)=\{-11 ; -3 ; 89 ; 97\}$
$p(Z=-11)=p(X=-10\, et\, Y=-1)=p(X=-10)×p(Y=-1)=0,98×0,99=0,9702$
$p(Z=-3)=p(X=-10\, et\,Y=7)=p(X=-10)×p(Y=7)=0,98×0,01=0,0098$
$p(Z=89)=p(X=90\, et\, Y=-1)=p(X=90)×p(Y=-1)=0,02×0,99=0,0198$
$p(Z=97)=p(X=90\, et\, Y=7)=p(X=90)×p(Y=7)=0,02×0,01=0,0002$
- On obtient: $E(X)=0,02×90+0,98×(-10)=-8$
Et: $E(Y)=0,01×7+0,99×(-1)=-0,92$
Par ailleurs, on a: $Z=X+Y$
Et donc: $E(Z)=E(X)+E(Y)$ (par linéarité de l'espérance)
Soit: $E(Z)=-8-0,92=-8,92$ - On obtient: $V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=0,02×90^2+0,98×(-10)^2-(-8)^2=196$
$V(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=0,01×7^2+0,99×(-1)^2-(-0,92)^2=0,6336$
- Les machines sont indépendantes, donc les variables X et Y sont indépendantes.
Donc $V(Z)=V(X)+V(Y)=196+0,6336=196,6336$
Autre méthode.
$V(Z)=E((Z)^2)-(E(Z))^2=0,9702×(-11)^2+0,0098×(-3)^2+0,0198×89^2+0,0002×97^2-(-8,92)^2=196,6336$
On retrouve bien le résultat précédent.