Probabilités
A SAVOIR: le cours sur Sommes de variables aléatoires
Exercice 3
Le directeur de l'entreprise Gexploat a classé ses salariés en fonction de leur investissement dans la société.
Il a distingué 3 groupes:
groupe A formé des 30% des salariés qui s'investissent peu.
groupe B formé des 50% des salariés dont l'investissement est acceptable.
groupe C formé des 20% des salariés dont l'investissement est important.
Le directeur choisit 10 fois de suite un salarié au hasard (les 10 choix sont donc indépendants), et obtient ainsi un échantillon de 10 salariés.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de salariés du groupe A dans l'échantillon.
On définit de même Y qui donne le nombre de salariés du groupe B et Z qui donne le nombre de salariés du groupe C.
- Que dire de X, de Y?
- Déterminer $p(X=2)$, $p(X≥3)$ (arrondies à 0,001 près).
- Déterminer $E(X)$ et $E(Y)$.
- En déduire la valeur de $E(Z)$.
- Quelle est la nature de Z? Retrouver alors la valeur de E(Z).
- Déterminer $V(X)$, $V(Y)$ et $V(Z)$.
- Déterminer $p(Y=3)$ et $p(Z=5)$ (arrondies à 0,001 près).
-
On admet que:
les variables X et Y sont indépendantes si et seulement si
pour tous $x$ et $y$, $p(X=x\,et\,Y=y)=p(X=x)×p(Y=y)$
et si les variables X et Y sont indépendantes, alors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
Dans cet exercice, les variables X et Y sont-elles indépendantes?
Corrigé
-
Examinons X.
On peut restreindre chaque choix à 2 éventualités:
le salarié est du groupe A (événement considéré comme un "succés" de probabilité 0,30)
ou:
le salarié n'est pas du groupe A.
De plus, les 10 choix sont indépendants.
Comme X dénombre le nombre de succès, X est une binomiale; plus précisément, on a: $X=B (\,10\,;\,0,30\,)$.
De même, on obtient: $Y=B (\,10\,;\,0,50\,)$. -
A la calculatrice, on obtient: $p(X=2)≈0,233$.
$p(X≥3)=1-p(X\text"<"3)=1-p(X≤2)≈1-0,383$
Soit: $p(X≥3)≈0,617$. - On a: $E(X)=10×0,30=$$3$ et $E(Y)=10×0,50=$$5$
-
Il est clair que $Z=10-X-Y$.
Donc: $E(Z)=10-E(X)-E(Y)$ (par linéarité de l'espérance). ( A savoir: $E(10)=10$ )
Finalement: $E(Z)=10-3-5=$$2$ -
Comme pour X et Y, on obtient: $Z=B (\,10\,;\,0,20\,)$.
Et donc: $E(Z)=10×0,20=2$.
Cela confirme le résultat précédent. -
$V(X)=10×0,30×0,70=2,1$
$V(Y)=10×0,50×0,50=2,5$
$V(Z)=10×0,20×0,80=1,6$ - A la calculatrice, on obtient: $p(Y=3)≈0,117$ et $p(Z=5)≈0,026$.
-
On a, par exemple: $p(X=2\,et\,Y=3)=p(Z=5)≈0,026$
Or: $p(X=2)×p(Y=3)≈0,233×0,117≈0,027$
Donc: $p(X=2\,et\,Y=3)≠p(X=2)×p(Y=3)$
Cela suffit pour prouver que les variables X et Y ne sont donc pas indépendantes.
Autre méthode.
La variable aléatoire constante 10 et la variable aléatoire $-Z$ sont indépendantes.
Donc $V(10-Z)=V(10)+V(-Z)$
Et comme $V(10)=0$, on obtient $V(10-Z)=0+(-1)^2V(Z)=V(Z)$
Or, comme $X+Y=10-Z$, on a: $V(X+Y)=V(10-Z)$.
Donc on obtient: $V(X+Y)=V(Z)$.
Vu les valeurs numériques trouvées ci-dessus, cela donne: $V(X+Y)=1,6$.
On note alors que $V(X)+V(Y)=2,1+2,5=4,6$
$V(X+Y)≠V(X)+V(Y)$
Donc X et Y ne sont donc pas indépendantes.