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Orthogonalité et distances dans l'espace

A SAVOIR: le cours sur Orthogonalité et distances dans l'espace

Exercice 5

Soient A et B deux points distincts de l'espace, et soit I le milieu de [AB].
Soit P le plan passant par I et de vecteur normal ${AB}↖{→}$.
Le plan P s'appelle plan médiateur du segment [AB].

  1. Soit M un point quelconque de P.
    plan mediateur
    Si M est en I, alors il est évident que $AM=MB$.
    Supposons que M soit distinct de I. On peut alors considérer le plan (ABM).
    Montrer que M appartient à la médiatrice de [AB] dans le plan (ABM).
    Qu'en déduire concernant AM et MB?
  2. Démontrons la réciproque.
    Supposons cette fois que M est un point de l'espace tel que $AM=MB$.
    Si M est en I, alors il est évident que M est sur P.
    Supposons que M soit distinct de I. On peut alors considérer le plan (ABM) si besoin.
    Montrer que M appartient à P.
  3. Reprenons le tétraèdre régulier ABCD de l'exercice 3. Montrer en utilisant un plan médiateur que les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales.
    tétraèdre et plan mediateur
Solution...
Corrigé
  1. Soit M un point quelconque de P.
    Comme I est dans P, ${MI}↖{→}$ est un vecteur appartenant à la direction de P.
    Et comme le plan P a pour vecteur normal ${AB}↖{→}$, les vecteurs ${AB}↖{→}$ et ${MI}↖{→}$ sont orthogonaux.
    Par conséquent, dans le plan (ABM), la droite (MI) est perpendiculaire à [AB].
    Et comme elle passe par son milieu I, c'est la médiatrice de [AB] dans le plan (ABM).
    Et donc $AM=MB$.
  2. M est un point de l'espace distinct de I tel que $AM=MB$.
    Donc, dans le plan (ABM), M appartient à la médiatrice de [AB].
    Or I, milieu de [AB], est clairement sur la médiatrice de[AB].
    Donc la médiatrice de [AB] est la droite (MI).
    Et par là, les vecteurs ${AB}↖{→}$ et ${MI}↖{→}$ sont orthogonaux.
    Or P est le plan passant par I et de vecteur normal ${AB}↖{→}$.
    Donc M appartient à P.
  3. Reprenons le tétraèdre régulier ABCD de l'exercice 3. tétraèdre et plan mediateur
    Le tétraèdre ABCD est régulier, donc: $DA=CA$, et donc A appartient au plan médiateur de [CD].
    De même, $DB=CB$, et donc B appartient au plan médiateur de [CD].
    Donc ${AB}↖{→}$ appartient à la direction de ce plan médiateur.
    Or ce plan médiateur a pour vecteur normal ${CD}↖{→}$.
    Donc ${CD}↖{→}$ est orthogonal à tout vecteur de la direction de ce plan médiateur, en particulier à ${AB}↖{→}$.
    Donc les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales.
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