Fonctions sinus et cosinus
A SAVOIR: le cours sur sinus et cosinus
Exercice 2
Soit définie sur par .
Soit sa courbe représentative.
1. Déterminer la valeur exacte de , , et .
2.a. Montrer que
2.b. On admet que, pour tout , on a: .
Montrer que .
3.a. Résoudre l'inéquation: .
3.b. Résoudre sur l'inéquation , puis déterminer le sens de variation de sur .
4.
Retrouvons le sens de variation de sur par une autre méthode (non exigible).
Résoudre sur l'inéquation , puis retrouver le sens de variation de sur .
5. Déterminer une équation de la tangente à en .
6. Représenter graphiquement et .
Solution...
Corrigé
1.
2.a. On pose avec .
Donc avec .
Et par là: .
2.b. On a: .
Or:
Donc .
Soit:
3.a. On a: ou
3.b. On résout sur l'inéquation : (1)
Or, si on pose , l'inéquation devient: .
Et cette inéquation a été résolue au 2.b..
Par conséquent:
(1) ou
On résout les équations trigonométriques associées.
() ou ()
Soit: ou .
Donc, sur , on a: .
On revient alors à l'inéquation .
Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient:
< (on rappelle que est cherché dans )
Cela correspond à l'arc bleu ci-dessous.

On procède de même avec la seconde inéquation.
ou .
Donc, sur , on a: .
On revient alors à l'inéquation .
Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient:
(on rappelle que est cherché dans )
Cela correspond à l'arc rouge ci-dessus.
On vient de trouver pour quels la dérivée est positive.
D'où le tableau de signes de et le tableau de variation de :

4. On résout sur l'inéquation : (2)
On a: (2)
On résout l'équation trigonométrique associée.
Soit: () ou ()
Soit: () ou ()
Donc, sur , on a: ou
On revient alors à l'inéquation (2): .
On résout sur . Les intervalles à examiner sont donc: , et .
Or, par lecture du cercle trigonométrique, on obtient:
.
.
.
On vient donc de trouver pour quels la dérivée est positive.
D'où le tableau de signes de et le tableau de variation de :

5.
Donc admet pour équation:
Soit: .
6. Voici les tracés demandés:
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