Corrigé

1.a. Soit $x$ un réel. On a: $-1≤\cos(4x)≤1$.
Et comme $e^{-x}$>$0$, on obtient: $-e^{-x}≤e^{-x}\cos(4x)≤e^{-x}$.
Soit: $-e^{-x} ≤f(x)≤ e^{-x}$.
c'est vrai pour tout $x$, et donc en particulier sur $[0;+∞[$.

1.b. On a vu que, pour tout réel $x$ de $[0;+∞[$, on a: $-e^{-x} ≤f(x)≤ e^{-x}$.
Or, comme $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$ et $\lim↙{y→-∞}e^y=0$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}e^{-x}=0$.
Et par là: $\lim↙{x→+∞}-e^{-x}=-0=0$.
Donc, les membres de droite et de gauche ont tous les deux la même limite (nulle) en $+∞$.

Donc, d'après le "théorème des gendarmes", on obtient: $\lim↙{x→+∞}f(x)=0$.

2. Pour trouver les abscisses des points communs aux courbes $Γ$ et $C$, il suffit de résoudre l'équation $f(x)=g(x)$ sur $[0;+∞[$.
$f(x)=g(x)$ $⇔$ $e^{−x}\cos(4x)=e^{-x}$ $⇔$ $\cos(4x)=1$ (on peut diviser chacun des membres de l'égalité par $e^{-x}$ qui est non nul)
Donc: $f(x)=g(x)$ $⇔$ $4x=k2π$ (avec $k$ entier naturel) (et non pas relatif car $x$ est positif ou nul)
Donc: $f(x)=g(x)$ $⇔$ $x=k{π}/{2}$ (avec $k$ entier naturel) $⇔$ $x=0$ $[{π}/{2}]$
Donc, sur $[0;+∞[$, $Γ$ et $C$ se coupent aux points d'abscisses $k{π}/{2}$, lorsque $k$ décrit l'ensemble des entiers naturels.
Ces points ont pour ordonnées respectives $f(k{π}/{2})=e^{−k{π}/{2}}\cos(4 ×k{π}/{2})=e^{−k{π}/{2}}\cos(k ×2π)=e^{−k{π}/{2}} ×1=e^{−k{π}/{2}}=(e^{−{π}/{2}})^k$.
Finalement, les points cherchés ont pour coordonnées $(k{π}/{2};(e^{−{π}/{2}})^k)$, pour $k$ dans $\ℕ$.

3.a. Chacun aura remarqué que les $u_n$ sont les ordonnées des points de contact précédents.

Donc, pour tout $n$ dans $\ℕ$, on a: $u_n=(e^{−{π}/{2}})^n$.
Donc la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $e^{−{π}/{2}}$, et de premier terme 1.

3.b. Il est clair que $0$<$e^{−{π}/{2}}$.
Par ailleurs, comme $−{π}/{2}$<$0$, on a: : $e^{−{π}/{2}}$<$e^0$ (par stricte croissance de l'exponentielle).
Et donc: $e^{−{π}/{2}}$<$1$.
Finalement, la raison de la suite géométrique $(e^{−{π}/{2}})^n$ est strictement entre 0 et 1, et par là, cette suite est strictement décroissante et admet pour limite 0.

4.a. Soit $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+∞[$.
On pose $u=e^{-x}$ et $v=\cos(4x)$.
On obtient alors $u\,'=-e^{-x}$ (la dérivée de $e^u$ est $u\,'e^u$).
On obtient également $v\,'=4×(-\sin(4x)=-4\sin(4x)$ (la dérivée de $g(ax+b)$ est $ag\,'(ax+b)$).
Ici, $f=uv$, et donc $f\,'=u\,'v+uv\,'$.
Soit: $f\,'(x)=-e^{-x}×\cos(4x)+e^{-x}×(-4\sin(4x))=-e^{-x}[\cos(4x)+4\sin(4x)]$.

4.b. Pour montrer que les deux courbes ont même tangente en chacun de leurs points communs, il suffit de montrer qu'elles y ont le même nombre dérivé. Il est inutile de déterminer les équations des tangentes car ces tangentes passent nécessairement par les points communs.
Or, un point commun à $Γ$ et $C$ admet une abscisse du type $k{π}/{2}$, avec $k$ entier naturel.
On calcule alors: $f\,'(k{π}/{2})=-e^{-k{π}/{2}}[\cos(4×k{π}/{2})+4\sin(4×k{π}/{2})]=-e^{-k{π}/{2}}[1+0]=-e^{-k{π}/{2}}$
Par ailleurs, il est clair que $g\,'(x)=-e^{-x}$ pour tout $x$ de $[0;+∞[$, et donc: $g\,'(k{π}/{2})=-e^{-k{π}/{2}}$.
Donc: $f\,'(k{π}/{2})=g\,'(k{π}/{2})$, et c'est vrai pour tout naturel $k$.
Donc les deux courbes ont même tangente en chacun de leurs points communs.
On note que le coefficient directeur de la tangente en $k{π}/{2}$ vaut $-u_k$, ce qui est curieux, mais c'est tout!

5. On a: $f\,'({π}/{2})=-e^{-{π}/{2}}[\cos(4×{π}/{2})+4\sin(4×{π}/{2})]$.
Soit: $f\,'({π}/{2})=-e^{-{π}/{2}}[\cos(2×π)+4\sin(2×π)]=-e^{-{π}/{2}}[1+0]=-e^{-{π}/{2}}$
Donc: $f\,'({π}/{2})≈-0,2$.
C'est une valeur approchée à $10^{-1}$ près par excès du coefficient directeur de la droite $T$ tangente à la courbe $Γ$ au point d’abscisse ${π}/{2}$.
Le graphique est complété ci-dessous en y traçant $Γ$ et $C$ grâce à quelques points obtenus à la calculatrice, et $T$ grâce à son coefficient directeur.