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Méthode: déterminer la limite de chacun des composants de la suite, puis en déduire la limite cherchée par application des résultats concernant limites et opérations.


1. $b_n=-2n^3+8$
   $\lim↙{n→+∞}n^3=+∞$.
   Par ailleurs: $\lim↙{n→+∞}-2=-2$. (dans le cadre de la limite d'un produit, cette ligne sera souvent omise par la suite)
   Or -2<0. Donc $\lim↙{n→+∞}-2n^3=-∞$ (limite d'un produit).
   Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}8=8$.
   On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}b_n=-∞$ (limite d'une somme).
   


2. $u_n=-4n^2-√{n}+11$
   $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$. Or -4<0. Donc $\lim↙{n→+∞}-4n^2=-∞$ (limite d'un produit).
   Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}√{n}=+∞$. Donc $\lim↙{n→+∞}-√{n}=-∞$.
   Enfin $\lim↙{n→+∞}11=11$.
   On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}u_n=-∞$ (limite d'une somme).
   


3. $v_n={9-{2}/{n}}/{{1}/{√{n}}-1}$
   $\lim↙{n→+∞}{1}/{n}=0$. Or $-{2}/{n}=(-2)×{1}/{n}$. Donc $\lim↙{n→+∞}-{2}/{n}=(-2)×0=0$.
   Par ailleurs $\lim↙{n→+∞}9=9$.
   Donc $\lim↙{n→+∞}9-{2}/{n}=9-0=9$ (limite d'une somme).
   De même, on a $\lim↙{n→+∞}{1}/{√{n}}-1=0-1=-1$ (limite d'une somme).
   On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}v_n={9}/{-1}=-9$ (limite d'un quotient).


4. $r_n={1-0,98^n}/{1-n^2}$
   $-1$<$0,98$<$1$, donc $\lim↙{n→+∞}(0,98^n)=0$.
   Donc $\lim↙{n→+∞}(1-0,98^n)=1-0=1$.
   Par ailleurs, comme $\lim↙{n→+∞}n^2=+∞$, on a $\lim↙{n→+∞}-n^2=-∞$.
   Et par là: $\lim↙{n→+∞}1-n^2=-∞$ (limite d'une somme)
   On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}r_n=0$ (limite d'un quotient).


5. $w_n=-n^3+3n^2-2n$
   On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}-n^3=-∞$ et $\lim↙{n→+∞}3n^2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors le terme "dominant" de la somme $w_n$.
   $w_n=n^3(-1+{3}/{n}-{2}/{n^2})$.
   Or $\lim↙{n→+∞}n^3=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-1+{3}/{n}-{2}/{n^2}=-1+0-0=-1$.
   On obtient donc finalement $\lim↙{n→+∞}w_n=-∞$ (limite d'un produit).


6. $t_n={n+9}/{-n+7}$
   On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}n+9=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}-n+7=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors les termes "dominants" du quotient $t_n$ et on simplifie.
   $t_n={n(1+{9}/{n})}/{n(-1+{7}/{n})}={1+{9}/{n}}/{-1+{7}/{n}}$.
   Or $\lim↙{n→+∞}1+{9}/{n}=1+0=1$ et $\lim↙{n→+∞}-1+{7}/{n}=-1+0=-1$.
   Donc on obtient finalement $\lim↙{n→+∞}t_n={1}/{-1}=-1$ (limite d'un produit).


7. $p_n={8n^2-n+1}/{n+2}$
   On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}8n^2-n+1=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}n+2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
   On factorise alors les termes "dominants" du quotient $p_n$ et on simplifie.
   $p_n={8n^2-n+1}/{n+2}={n^2(8-{1}/{n}+{1}/{n^2})}/{n(1+{2}/{n})}=n{8-{1}/{n}+{1}/{n^2}}/{1+{2}/{n}}$.
   Or $\lim↙{n→+∞}n=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}{8-{1}/{n}+{1}/{n^2}}/{1+{2}/{n}}={8-0+0}/{1+0}=8$.
   Donc finalement $\lim↙{n→+∞}p_n=+∞$ (limite d'un produit).