Suites
A SAVOIR: le cours sur les suites
Exercice 10
Un exercice de bac très complet!Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $\{\table v_0=0; v_{n+1}={1}/{2-v_n}$
1.a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $0\text"<"v_n\text"<"1$.
1.b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}-v_n={(v_n-1)^2}/{2-v_n}$.
1.c. Démontrer que la suite $(v_n)$ est convergente.
2.a. On considère la suite $(w_n)$ définie, pour tout naturel $n$, par $w_n={1}/{v_n-1}$.
Démontrer que la suite $(w_n)$ est arithmétique de raison $-1$.
2.b. En déduire l'expression de $w_n$ , puis celle de $v_n$ en fonction de $n$.
3. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(v_n)$.
Corrigé
1.a. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur la démonstration par récurrence.
Soit $P_n$ la propriété: "$0\text"<"v_n\text"<"1$".
Démontrons par récurrence que, pour tout naturel $n$ non nul, la propriété $P_n$ est vraie.
Initialisation:
$v_1={1}/{2-v_0}={1}/{2-0}=0,5$. On a bien $0\text"<"v_1\text"<"1$. Donc $P_{1}$ est vraie.
Hérédité:
Soit $n$ un entier naturel non nul, supposons que $P_n$ soit vraie.
$0\text"<"v_n\text"<"1$.
Donc: $-0\text">"-v_n\text">"-1$. Donc: $2-0\text">"2-v_n\text">"2-1$.
Soit: $2\text">"2-v_n\text">"1$.
Ces nombres sont strictement positifs, donc, par passage aux inverses, on obtient:
${1}/{2}\text"<"{1}/{2-v_n}\text"<"{1}/{1}$.
Soit: $0,5\text"<"v_{n+1}\text"<"1$, et par là: $0\text"<"v_{n+1}\text"<"1$.
Donc $P_{n+1}$ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$ non nul, $0\text"<"v_n\text"<"1$.
1.b. Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}-v_n={1}/{2-v_n}-v_n={1}/{2-v_n}-{v_n(2-v_n)}/{2-v_n}={1-2v_n+{v_n}^2}/{2-v_n}={(v_n-1)^2}/{2-v_n}$.
Et cette égalité est vraie pour tout naturel $n$.
1.c. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur croissance, majoration et convergence.
On a: $u_0\text"<"1$; donc, d'après le 1.a., $(v_n)$ est majorée (par 1).
Or, d'après le 1.b., $(v_n)$ est croissante.
Par conséquent, $(v_n)$ est convergente.
2.a. Soit $n$ un entier naturel.
$w_{n+1}-w_n={1}/{v_{n+1}-1}-{1}/{v_n-1}={1}/{{1}/{2-v_n}-1}-{1}/{v_n-1}={1}/{{1-(2-v_n)}/{2-v_n}}-{1}/{v_n-1}={2-v_n}/{-1+v_n}-{1}/{v_n-1}$
Soit: $w_{n+1}-w_n={2-v_n-1}/{v_n-1}={1-v_n}/{-1+v_n}=-1$
Donc, pour tout $n$ entier naturel, $w_{n+1}-w_n=-1$.
Et par là, $(w_n)$ est arithmétique de raison -1.
Notons ici que $w_0={1}/{v_0-1}={1}/{0-1}=-1$.
2.b. D'après le 2.a., $w_n=w_0+n×(-1)=-1-n$.
Et comme $w_n={1}/{v_n-1}$, on obtient: $v_n=1+{1}/{w_n}=1+{1}/{-1-n}={-1-n+1}/{-1-n}={-n}/{-1-n}={n}/{n+1}$.
Donc, pour tout naturel $n$, $v_n={n}/{n+1}$.
3. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur les opérations sur les limites.
Pour lever l'indétermination, on factorise alors les termes "dominants" du quotient et on simplifie.
$v_n={n}/{n(1+{1}/{n})}={1}/{1+{1}/{n}}$.
Et par là: $\lim↙{n→+∞}v_n={1}/{1+0}=1$.