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Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 13

Un exercice de bac très complet!

Un joueur effectue une succession de parties.
S'il a gagné une partie, alors la probabilité qu'il gagne la suivante vaut 0,8.
S'il a perdu une partie, alors la probabilité qu'il gagne la suivante vaut 0,5.
Soit $G_n$ et $P_n$ les événements:
$G_n$: "le joueur a gagné la n-ième partie"
$P_n$: "le joueur a perdu la n-ième partie"
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose: $g_n=p(G_n)$.

  1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant.
    fig3
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: $g_{n+1}=0,3 g_n+0,5$
  3. On suppose que la probabilité que le joueur gagne sa première partie vaut 0,9.
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: ${5}/{7}≤g_n$
    2. Montrer que la suite $(g_n)$ est décroissante.
    3. Montrer que la suite $(g_n)$ est convergente.
    4. Déterminer $\lim↙{n→{+∞}}g_n$.
  4. On suppose que la probabilité que le joueur gagne sa première partie vaut $g$, où $g$ est un réel fixé de l'intervalle [0;1].
    On considère la suite auxiliaire $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $v_{n}=g_n-{5}/{7}$
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: $g_n=(g-{5}/{7})×0,3^{n-1}+{5}/{7}$.
    3. Déterminer $\lim↙{n→{+∞}}g_n$.
    4. Interpréter concrètement le résultat obtenu à la question précédente.
Solution...
Corrigé

  1. Clique ICI pour revoir le cours de Première sur les probabilités conditionnelles.

    Voici l'arbre pondéré complété.
    fig4

  2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On a: $g_{n+1}=p(G_{n+1})$
    Or, on sait que: $p(G_{n+1})=p(G_n∩G_{n+1})+p(P_n∩G_{n+1})$ (par application de la formule des probabilités totales).
    Donc: $g_{n+1}= p(G_n)×p_{G_n}(G_{n+1})+p(P_n)×p_{P_n}(G_{n+1})$ (par application de la seconde règle du cours).
    Soit: $g_{n+1}= g_n×0,8+(1-g_n)×0,5$
    Soit: $g_{n+1}=0,8 g_n+0,5-0,5 g_n$
    Soit: $g_{n+1}=0,3 g_n+0,5$
    Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a bien: $g_{n+1}=0,3 g_n+0,5$

  3. On suppose que la probabilité que le joueur gagne sa première partie vaut 0,9.
    1. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur la démonstration par récurrence.

      Pour tout entier naturel $n$ non nul, notons $ P_n $ la propriété : ${5}/{7}≤g_n$.
      Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $ P_n $ est vraie.
      Initialisation : On a: $ g_1=0,9$ , donc $ P_1 $ est vraie.
      Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul, supposons que $P_n$ soit vraie.
      On a donc: ${5}/{7}≤g_n$.
      D'où: $0,3×{5}/{7}+0,5≤0,3×g_n+0,5$.
      Soit: ${5}/{7}≤g_{n+1}$
      Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
      Conclusion: pour tout naturel $n$ non nul, ${5}/{7}≤g_n$.

    2. Soit $n$ un entier naturel non nul. On a: $g_{n+1}-g_n=0,3 g_n+0,5-g_n=0,5-0,7g_n$
      Or, comme on a ${5}/{7}≤g_n$, on obtient: $0,5-0,7×{5}/{7}≥0,5-0,7×g_n$
      Soit: $0≥g_{n+1}-g_n$
      Et c'est vrai pour tout entier naturel $n$ non nul.
      Donc la suite $(g_n)$ est décroissante.

    3. Comme la suite $(g_n)$ décroissante et minorée par ${5}/{7}$, elle est convergente.

    4. Posons: $l=\lim↙{n→{+∞}}g_n$ (on sait que $l$ existe car $(g_n)$ est convergente).
      Par passage à la limite dans l'égalité $g_{n+1}=0,3 g_n+0,5$, on obtient:
      $l=0,3l+0,5$
      Et par là: $l={0,5}/{1-0,3}={5}/{7}$ Donc: $\lim↙{n→{+∞}}g_n={5}/{7}$

    1. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: $v_n=g_n-{5}/{7}$.
      Donc: $v_{n+1}=g_{n+1}-{5}/{7}$
      Or: $g_{n+1}=0,3 g_n+0,5$
      Donc: $v_{n+1}=0,3 g_n+0,5-{5}/{7}$
      Soit: $v_{n+1}=0,3 g_n-{3}/{14}$
      Donc: $v_{n+1}=0,3 (v_n+{5}/{7})-{3}/{14}$
      Soit: $v_{n+1}=0,3 v_n+{15}/{70}-{3}/{14}$
      Soit: $v_{n+1}=0,3 v_n$
      Et c'est vrai pour tout entier naturel $n$ non nul.
      Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,3.

    2. Par conséquent: pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: $v_n=v_1×0,3^{n-1}$.
      Or: $v_1=g_1-{5}/{7}=g-{5}/{7}$
      Donc: $v_n=(g-{5}/{7})×0,3^{n-1}$.
      Et, comme $g_n=v_n+{5}/{7}$, on obtient:
      $g_n=(g-{5}/{7})×0,3^{n-1}+{5}/{7}$

    3. Comme 0<0,3<1, on a: $\lim↙{n→{+∞}}g_n=(g-{5}/{7})×0+{5}/{7}$
      Soit: $\lim↙{n→{+∞}}g_n={5}/{7}$.
      Notons que, si $g=0,9$, alors on retrouve le résultat du 3.d.

    4. La probabilité que le joueur gagne une partie se rapproche de ${5}/{7}$ d'aussi près que l'on veut pourvu que le nombre de parties jouées soit suffisamment grand.
      On notera que ce résultat est indépendant de la valeur de $g$.
    5. .
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