Corrigé

1.a. $u_1 = {3 × u_0}/{ 1+ 2u_0} = {3 × {1}/{2}}/{ 1+2 {1}/{2}} = {3}/{4}$
et $u_2 = {3 × u_1}/{ 1 + 2u_1} = {3 × {3}/{4}}/{1 + 2 {3}/{4}} = {9}/{10}$.

1.b. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur la démonstration par récurrence.
Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $0$ < $u_n$.
Initialisation : On a: $ u_0 = {1}/{2}$ >$ 0$, donc $ P_0 $ est vraie.
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $ 0$ < $u_n $.
D'où: $0$ < $3u_n $ et: $ 0$ < $1 + 2u_n $.
Et comme $u_{n+1} = {3u_n}/{1+2u_n}$, on constate que $u_{n+1}$ est le quotient de deux nombres strictement positifs.
Par conséquent: $ 0$ < $u_{n+1} $.
Donc $ P_{n+1} $ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $0$ < $u_n$.

2.a. On vient de montrer que la suite $(u_n)$ est strictement positive. Par conséquent, pour étudier ses variations, on peut comparer $ {u_{n+1}}/{u_n} $ à $1$ pour tout entier naturel $n$.
$ {u_{n+1}}/{u_n} = {{3u_n}/{1+2u_n}}/{u_n} = {3}/{1+2u_n}$
Or, on a admis que $u_n$<$1$, et par là: $1+2u_n$ < $1+2×1$, soit: $1+2u_n$ < $3$
Ce qui implique que: $ 1$ < ${3}/{1+2u_n}$ (l'inégalité ne change pas de sens car $1+2u_n$ > $0$).
On a donc montré que, pour tout entier naturel $n$, $1$<$ {u_{n+1}}/{u_n} $.
Et comme $0$<$u_n$, on obtient: ${u_n}$<$u_{n+1}$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est croissante.

2.b. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur croissance, majoration et convergence.
On a vu que la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$.
Elle converge donc vers une limite $l$, et de plus: $l≤ 1 $.

3.a. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur les suites géométriques.
Soit $n$ un entier naturel.
$ v_{n+1} = {u_{n+1}}/{1-u_{n+1}} = {{3u_n}/{1+2u_n}}/{1-{3u_n}/{1+2u_n}} = {{3u_n}/{1+2u_n}}/{{1+2u_n-3u_n}/{1+2u_n}} = {3u_n}/{1-u_n}=3{u_n}/{1-u_n} = 3 v_n$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, on a: $ v_{n+1} =3 v_n$.
Par conséquent, la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 3.

3.b. D'après ce qui précède, on obtient: $v_n = v_0 3^n$.
Or $v_0={u_0}/{1 - u_0}={0,5}/{1 - 0,5}=1$.
Donc: $v_n=3^n$, pour tout entier naturel $n$.

3.c. Soit $n$ un entier naturel.
$ v_n = {u_n}/{1-u_n} ⇔ (1-u_n) v_n = u_n ⇔ v_n = u_n + u_n v_n ⇔ {v_n}/{1+v_n}=u_n ⇔ {3^n}/{3^n+1}=u_n $.

Finalement: $u_n = {3^n}/{3^n+1}$

3.d. Clique ICI pour revoir l'essentiel sur les opérations sur les limites.
Comme $3$>$1$, on obtient facilement $\lim↙{n→+∞}3^n=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}3^n+1=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors les termes "dominants" du quotient $u_n$ et on simplifie.
$u_n={3^n}/{3^n(1+{1}/{3^n})}={1}/{1+{1}/{3^n}}$.
Or $\lim↙{n→+∞}1+{1}/{3^n}=1+0=1$ et $\lim↙{n→+∞}1=1$.
Donc on obtient finalement $\lim↙{n→+∞}u_n={1}/{1}=1$ (limite d'un quotient)
La suite $(u_n)$ converge vers 1 .