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Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 2

Un exercice de révision de notions vues en première...
Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n={n}/{n+2}$ pour tout naturel $n$.
Question 1. Montrons que $(w_n)$ est strictement croissante de 3 façons différentes.

  1. En déterminant le signe de $w_{n+1}-w_n$ pour tout entier naturel $n$.
  2. logo de maths-bacEn étudiant le quotient ${w_{n+1}}/{w_n}$ pour tout entier naturel $n$.
    (il est conseillé de montrer que ${w_{n+1}}/{w_n}=1+{2}/{n^2+3n}$)
  3. En étudiant le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)={x}/{x+2}$ pour $x$ positif.

Question 2. Déterminer $\lim↙{n→+∞}w_n$.
Question 3. La phrase "si une suite est strictement croissante, alors sa limite est $+∞$" est-elle vraie?

Solution...
Corrigé

Question 1.

  1. Première méthode
    Nous allons comparer $w_{n+1}-w_n$ à 0. Cette méthode est toujours valide, mais les calculs sont parfois complexes.
    Soit $n$ un entier naturel.
    $w_{n+1}-w_n={n+1}/{n+1+2}-{n}/{n+2}={n+1}/{n+3}-{n}/{n+2}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n={(n+1)(n+2)}/{(n+3)(n+2)}-{n(n+3)}/{(n+2)(n+3)}={(n+1)(n+2)-n(n+3)}/{(n+3)(n+2)}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n={n^2+2n+1n+2-n^2-3n}/{(n+3)(n+2)}$
    Soit: $w_{n+1}-w_n=={2}/{(n+3)(n+2)}$
    Le numérateur est strictement positif.
    Or, puisque $n$ est un entier naturel, il est clair que le dénominateur est également strictement positif .
    Donc, pour tout naturel $n$, $w_{n+1}-w_n>0$, soit: $w_{n+1}>w_n$.
    Par conséquent, $(w_n)$ est strictement croissante.

  2. Seconde méthode
    Nous allons comparer le quotient ${w_{n+1}}/{w_n}$ à 1. Cette méthode est valide si la suite reste strictement positive.
    Soit $n$ est un entier naturel non nul. Il est alors évident que $w_n={n}/{n+2}$ est strictement positif.
    On a: ${w_{n+1}}/{w_n}={n+1}/{n+1+2}×{n+2}/{n}={(n+1)×(n+2)}/{(n+3)×n}={n^2+3n+2}/{n^2+3n}$
    Soit: ${w_{n+1}}/{w_n}={n^2+3n}/{n^2+3n}+{2}/{n^2+3n}=1+{2}/{n^2+3n}$.
    Or, puisque $n$ est un entier naturel non nul, il est clair que ${n^2+3n}$ est strictement positif, et par là, ${2}/{n^2+3n}$ est aussi strictement positif.
    Par conséquent, ${w_{n+1}}/{w_n}$>$1$.
    Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a: $w_{n+1}$>$w_n$.
    On a multiplié chaque membre de l'inégalité précédente par $w_n$ qui est strictement positif. Le sens de l'inégalité n'a donc pas changé.

    Il reste à traiter le cas où $n=0$, et donc à comparer $w_{1}$ et $w_0$.
    On a: $w_{1}={1}/{3}$ et $w_0=0$, et par là: $w_{1}$>$w_0$.

    Donc finalement: pour tout entier naturel $n$, on a: $w_{n+1}$>$w_n$.
    Finalement, on a montré que $(w_n)$ est strictement croissante.

  3. Troisième méthode
    Cette méthode est valide si la suite est définie de façon explicite, et si la fonction considérée est monotone. On rappelle que, si la fonction est monotone, alors la suite l'est, mais la réciproque est fausse!
    Soit $f$ définie par $f(x)={x}/{x+2}$ pour $x$ positif ou nul.
    $f'(x)={1×(x+2)-x×1}/{(x+2)^2}={x+2-x}/{(x+2)^2}={2}/{(x+2)^2}$
    On a: 2>0, et $(x+2)^2$>0 (c'est un carré, qui ne s'annule pas pour $x$ positif).
    $f'(x)$, quotient de 2 termes strictement positifs, est donc strictement positive.
    Donc $f$ est strictement croissante pour $x$ positif ou nul.

    Et comme $w_n=f(n)$ pour tout naturel $n$, la suite $(w_n)$ est également strictement croissante.

Question 2.
On obtient facilement $\lim↙{n→+∞}n=+∞$ et $\lim↙{n→+∞}n+2=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
On factorise alors les termes "dominants" du quotient $w_n$ et on simplifie.

$w_n={n}/{n(1+{2}/{n})}={1}/{1+{2}/{n}}$.
Or $\lim↙{n→+∞}1+{2}/{n}=1+0=1$ et $\lim↙{n→+∞}1=1$.
Donc on obtient finalement $\lim↙{n→+∞}w_n={1}/{1}=$$1$ (limite d'un quotient).

Question 3.
La phrase "si une suite est strictement croissante, alors sa limite est $+∞$" est donc fausse.
En effet, la suite $(w_n)$ est strictement croissante alors que sa limite n'est pas $+∞$.

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