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1. ${\mathit{u}}_{\mathit{n}}={\mathit{n}}^3+\sqrt{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+3}+11$
   Pour tout naturel $\mathit{n}$, $\sqrt{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+3}\ge 0$, et donc: ${\mathit{n}}^3+\sqrt{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+3}+11\ge {\mathit{n}}^3+0+11$
   Soit: ${\mathit{u}}_{\mathit{n}}\ge {\mathit{n}}^3+11$
   Or, comme $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{n}}^3=+\mathit{\infty }$ et $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }11=11$, on a: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{n}}^3+11=+\mathit{\infty }$.
   
   Donc, par comparaison, $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{u}}_{\mathit{n}}=+\mathit{\infty }$.


2. Pour tout naturel $\mathit{n}$, $-1\le {\left(-1\right)}^{\mathit{n}}\le 1$, et donc: $\frac{-1}{\mathit{n}}\le {\mathit{w}}_{\mathit{n}}\le \frac{1}{\mathit{n}}$.
   Or $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\frac{-1}{\mathit{n}}=0$ et $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\frac{1}{\mathit{n}}=0$.
   
   Et par là, d'après le théorème des gendarmes, $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{w}}_{\mathit{n}}=0$.


3. ${\mathit{x}}^2-\mathit{x}+8$ est un trinôme dont le discriminant vaut: $\mathit{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times 1\times 8=-31$.
   et le coefficient dominant 1 est positif. Donc le trinôme reste toujours strictement positif.
   Considérons ${\mathit{v}}_{\mathit{n}}=\frac{2{\mathit{n}}^2+\cos \mathit{n}}{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8}$
   Pour tout naturel $\mathit{n}$, $-1\le \cos \mathit{n}\le 1$, et donc: $2{\mathit{n}}^2-1\le 2{\mathit{n}}^2+\cos \mathit{n}\le 2{\mathit{n}}^2+1$.
   Or $"0">{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8\text{>}0$ pour tout naturel $\mathit{n}$.
   Donc, on obtient: $\frac{2{\mathit{n}}^2-1}{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8}\le \frac{2{\mathit{n}}^2+\cos \mathit{n}}{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8}\le \frac{2{\mathit{n}}^2+1}{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8}$ pour tout naturel $\mathit{n}$.
   Déterminons la limite de chacun des "gendarmes".
   $\frac{2{\mathit{n}}^2-1}{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8}=\frac{{\mathit{n}}^2\left(2-\frac{1}{{\mathit{n}}^2}\right)}{{\mathit{n}}^2\left(1-\frac{1}{\mathit{n}}+\frac{8}{{\mathit{n}}^2}\right)}=\frac{2-\frac{1}{{\mathit{n}}^2}}{1-\frac{1}{\mathit{n}}+\frac{8}{{\mathit{n}}^2}}$.
   On obtient alors: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\frac{2{\mathit{n}}^2-1}{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8}=\frac{2-0}{1-0+0}=2$.
   De même, on obtient: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\frac{2{\mathit{n}}^2+1}{{\mathit{n}}^2-\mathit{n}+8}=\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\frac{2+\frac{1}{{\mathit{n}}^2}}{1-\frac{1}{\mathit{n}}+\frac{8}{{\mathit{n}}^2}}=\frac{2+0}{1-0+0}=2$.
   
   Et par là, d'après le théorème des gendarmes, $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }{\mathit{v}}_{\mathit{n}}=2$.