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Suites

A SAVOIR: le cours sur les suites

Exercice 6

Un exercice classique, et facile, utilisant une suite auxiliaire de nature connue pour déterminer la formule explicite de la suite initiale.

Un lac contient 70 centaines de grenouilles hermaphrodites; elles peuvent changer de sexe au cours de leur vie. La population est supposée stable au cours du temps.
Au début de l'année 2020, le lac contient 7 centaines de mâles, et 63 centaines de femelles.
Chaque année, 20% des mâles deviennent femelles, et de même, 20% des femelles deviennent mâles.
Soit $u_n$ le nombre de centaines de mâles au début de l'année $2020+n$. Il est clair que $u_0=7$.
1.a. Montrer que $u_1=18,2$
1.b. Montrer que $u_{n+1}=0,6×u_n+14$ pour tout naturel $n$.
2. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout naturel $n$, par $v_n=u_n-35$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6, et donner son premier terme.
3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout naturel $n$.
4. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$ et conclure.

Solution...
Corrigé

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1.a. $u_1=u_0×0,80+(70-u_0)×0,20=7×0,80+(70-7)×0,20=7×0,80+63×0,20=18,2$.

Soit: $u_1=18,2$

1.b. Pour tout naturel $n$: $u_{n+1}=u_n×0,80+(70-u_n)×0,20=0,80u_n+70×0,20-0,20u_n=0,6×u_n+14$.

Soit: $u_{n+1}=0,6×u_n+14$

2. Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6, il suffit de montrer que $v_{n+1}=0,6×v_n$ pour tout entier naturel $n$.
Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=u_{n+1}-35=0,6×u_n+14-35=0,6×u_n-21$.
Or: $0,6×v_n=0,6×(u_n-35)=0,6×u_n-0,6×35=0,6×u_n-21$.
Donc: $v_{n+1}=0,6×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison 0,6.
Notons que son premier terme est $v_0=u_0-35=7-35=-28$.

3. On obtient alors: $v_n=v_0×0,6^n=(-28)×0,6^n$.
Par ailleurs, $v_n=u_n-35$ donne $v_n+35=u_n$.

Finalement, on obtient: $(-28)×0,6^n+35=u_n$.

4. Comme 0<0,6<1, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,6^n)=0$.

Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=35$.
Le nombre de mâles tend vers $35$ centaines.
Remarquons que, comme la population totale est de 70 centaines de grenouilles, le nombre de femelles tend également vers 35 centaines.

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