Suites
A SAVOIR: le cours sur les suites
Exercice 7
Un exercice de bac très court centré sur des algorithmes!
La suite $(u_n)$ est définie par $u_n=(-28)×0,6^n+35$ pour tout entier naturel $n$.
1. Déterminer $\lim↙{n→+∞}(u_n)$.
2.a. On considère l'algorithme suivant:
$U$ ← 7
$N$ ← 0
Tant que $U>30$
$N$ ← N+1
$N$ ← $-28×0,6^U+35$
Fin du Tant que
Corriger l'algorithme proposé pour que, à la fin de son exécution, la variable N contienne la plus petite valeur de $n$
à partir de laquelle les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement supérieurs à 30 (si cette valeur existe).
2.b. En admettant que l'algorithme fournisse effectivement une valeur de $n$, que suffirait-il de démontrer pour être certain que ce nombre $n$ est bien la valeur cherchée?
2.c. Démontrer votre proposition.
3.a. En fait, il est certain qu'il existe effectivement une valeur de $n$
à partir de laquelle les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement supérieurs à 30. Pourquoi?
3.b. Déterminer la plus petite valeur de $n$ convenable.
4. On considère l'algorithme suivant, où la variable N contient un entier naturel $n$:
$S$ ← 0
Pour $I$ allant de 0 à $ N$
$N$ ← $-28×0,6^N+35$
Fin du Pour
Corriger l'algorithme proposé pour que, à la fin de son exécution, la variable S contienne la valeur de la somme $u_0+u_1+...+u_n$.
Corrigé
1. Comme 0<0,6<1, on a: $\lim↙{n→+∞}(0,6^n)=0$.
Donc $\lim↙{n→+∞}(u_n)=(-28)×0+35=35$.
2.a. Voici un l'algorithme correct:
$U$ ← 7
$N$ ← 0
Tant que $U≤30$
$N$ ← N+1
$U$ ← $-28×0,6^N+35$
Fin du Tant que
2.b. Il suffirait de démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
2.c. Comme $0<0,6<1$, la suite géométrique $(0,6^n)$ est strictement décroissante.
Or $-28<0$, et par là, la suite géométrique $(-28×0,6^n)$ est strictement croissante.
Et finalement, la suite $(u_n)$ est également strictement croissante.
3.a. Démontrons l'existence de $n$.
On a démontré que $\lim↙{n→+∞}(u_n)=35$.
Donc, pour tout nombre $d$ strictement positif, il existe une valeur de $n$
à partir de laquelle les termes de la suite $(u_n)$ sont compris entre $30-d$ et $30+d$. En particulier, il existe une valeur de $n$
à partir de laquelle les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement supérieurs à 30.
3.b. Déterminons le plus petit entier $n$ convenable par essais successifs à la calculatrice.
Comme la suite $(u_n)$ est strictement croissante, la première valeur de $n$ telle que $u_n$>$30$ convient.
On obtient: $u_3≈28,95$ et $u_4≈31,37$.
Donc l'entier cherché est donc 4.
On peut aussi déterminer le plus petit entier $n$ convenable en utilisant la fonction logarithme népérien.
On résout: $(-28)×0,6^n+35$>$30$
$5$>$28×0,6^n$
${5}/{28}$>$0,6^n$
$\ln{5}/{28}$>$n×\ln0,6$
${\ln{5}/{28}}/{\ln0,6}$<$n$
Attention au changement de sens de l'inégalité car $\ln0,6$<$0$.
Tout entier strictement supérieur à ${\ln{5}/{28}}/{\ln0,6}$ convient. L'entier cherché est le plus petit entier naturel strictement supérieur à ${\ln{5}/{28}}/{\ln0,6}$.
Comme ${\ln{5}/{28}}/{\ln0,6}≈3,4$, il s'agit de 4.
4. Voici un l'algorithme correct:
$S$ ← 0
Pour $I$ allant de 0 à $ N$
$S$ ← $S-28×0,6^N+35$
Fin du Pour