Corrigé

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1. Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $ 1≤u_n≤2$.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
Initialisation : On a: $u_0=1$ , donc $ 1≤u_0≤2$, et donc $P_0 $ est vraie.
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $ 1≤u_n≤2$. (nous allons faire "apparaître" $u_{n+1}$ au centre des inégalités)
On obtient immédiatement: $ 4+1≤4+u_n≤4+2$, soit: $ 5≤4+u_n≤6$.
Ces nombres étant strictement positifs, leurs inverses sont dans l'ordre inverse.
On obtient donc: $ {1}/{5}≥{1}/{4+u_n}≥{1}/{6}$.
Et donc: $ -3×{1}/{5}≤-3×{1}/{4+u_n}≤-3×{1}/{6}$ (car -3 est strictement négatif).
D'où: $2 -3×{1}/{5}≤2-3×{1}/{4+u_n}≤2-3×{1}/{6}$
Soit: $1,4≤u_{n+1}≤1,5$
Et donc, à fortiori: $ 1≤u_{n+1}≤2$
Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $ 1≤u_n≤2$.

2. Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $ 2^n≥n+1$.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
Initialisation : On a: $2^0=1$ , et $0+1=1$. Donc $ 2^0≥0+1$, et donc $P_0 $ est vraie.
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $ 2^n≥n+1$.
Nous voulons prouver que $ P_{n+1} $ est vraie, c'est à dire que: $2^{n+1}≥n+1+1$. Nous allons faire "apparaître" $2^{n+1}$ à gauche de l'inégalité d'origine.
On obtient immédiatement: $ 2×2^n≥2×(n+1)$ (car 2 est strictement positif).
Soit: $ 2^{n+1}≥2n+2$
Il suffit dont de prouver que $2n+2≥n+1+1$.
Or cette inégalité équivaut à $2n-n≥1+1-2$, soit: $n≥0$, ce qui est vrai!
Donc l'inégalité $2n+2≥n+1+1$ est vraie, et par là, on obtient:
$ 2^{n+1}≥2n+2≥n+1+1$
Et donc: $ 2^{n+1}≥n+1+1$
Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $ 2^n≥n+1$.

3. Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $ v_n=(-28)×0,6^n+35$.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
Initialisation : On a: $v_0=7$ , et $(-28)×0,6^0+35=7$ donc $ v_0=(-28)×0,6^0+35$, et donc $P_0 $ est vraie.
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $ v_n=(-28)×0,6^n+35$.
Nous voulons prouver que $ P_{n+1} $ est vraie, c'est à dire que: $ v_{n+1}=(-28)×0,6^{n+1}+35$. Nous revenons à l'expression de $v_{n+1}$ donnée dans l'énoncé.
On sait que: $v_{n+1}=0,6v_n+14$.
On obtient donc: $v_{n+1}=0,6((-28)×0,6^n+35)+14$.
Soit: $v_{n+1}=(-28)×0,6×0,6^n+0,6×35+14$
Soit: $v_{n+1}=(-28)×0,6^{n+1}+35$.
Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $ v_n=(-28)×0,6^n+35$.
Pour information, cette propriété a été démontrée autrement dans l'exercice 6.

4. On veut montrer que, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}>w_n$.
Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $w_{n+1}>w_n$.
Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
Initialisation : On a: $w_0=1$ , donc $ w_1=√{w_0+2}=√{1+2}=√{3}≈1,7$.
Donc: $w_{1}>w_0$, et donc $P_0 $ est vraie.
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $w_{n+1}>w_n$.
Nous voulons prouver que $ P_{n+1} $ est vraie, c'est à dire que: $w_{n+2}>w_{n+1}$. Nous allons faire "apparaître" ces termes à partir de l'inégalité d'origine.
On obtient: $w_{n+1}+2>w_n+2$
Et comme la fonction racine carrée est strictement croissante, on en déduit que:
$√{w_{n+1}+2}>√{w_n+2}$
Soit: $w_{n+2}>w_{n+1}$ Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $w_{n+1}>w_n$.
Cela démontre que la suite $ (w_n)$ est strictement croissante.

5. Pour tout entier naturel $n$, notons $ P_n $ la propriété : $1+2+...+n={n(n+1)}/{2}$.

Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $ P_n $ est vraie.
Initialisation : On a: $1={1×(1+1)}/{2}$. Donc $P_0 $ est vraie.
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel, supposons que $P_n$ soit vraie.
On a donc: $1+2+...+n={n(n+1)}/{2}$
On obtient immédiatement: $1+2+...+n+(n+1)={n(n+1)}/{2}+(n+1)$ (certaines parenthèses sont superflues)
Soit: $1+2+...+n+(n+1)={n(n+1)}/{2}+{2(n+1)}/{2}={n(n+1)+2(n+1)}/{2}$
Soit: $1+2+...+n+(n+1)={(n+1)(n+2)}/{2}$ (on a factorisé $n+1$)
Soit: $1+2+...+n+(n+1)={(n+1)((n+1)+1)}/{2}$
Et par là: $ P_{n+1} $ est vraie.
Conclusion: pour tout naturel $n$, $1+2+...+n={n(n+1)}/{2}$.
Cette propriété a été démontrée en première de façon directe.