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Représentations paramétriques et équations cartésiennes

A SAVOIR: le cours sur Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Exercice 5

L'espace est muni du repère orthonormal (A, I, J, K).
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, tel que
B a pour coordonnées (2 ; 0 ; 0), C a pour coordonnées (2 ; 4 ; 0), E a pour coordonnées (0 ; 0 ; 3) et F a pour coordonnées (2 ; 0 ; 3).
pavé coordonnées

    On considère le point N, intersection du plan (IJG) et de la droite (BF).
  1. Cette question ne nécessite aucun calcul
    • Donner, sans justifier, un plan auquel appartiennent les droites (IJ) et (BC).
    • On admettra que les droites (IJ) et (BC), coplanaires, sont sécantes en un point M.
      Déterminer, en justifiant, la droite qui constitue l'intersection du plan (IJG) et du plan (BCG).
    • Construire, sans justifier, le point N.
  2. Nous allons vérifier que la construction de N est correcte en déterminant les coordonnées de N.
    • Il est clair que G a pour coordonnées (2 ; 4 ; 3).
      Par ailleurs, le plan (IJG) admet pour vecteurs directeurs ${IJ}↖{→}$ et ${IG}↖{→}$.
      Montrer que le vecteur ${n}↖{→}$(1 ; 1 ;$-{5}/{3}$) est normal au plan (IJG).
    • Déterminer une équation du plan (IJG).
    • Déterminer les coordonnées du point N, intersection du plan (IJG) et de la droite (BF).
  3. On admettra qu'un plan coupe 2 plans parallèles selon 2 droites parallèles.
    Tracer, sans justifier, la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG).

Solution...
Corrigé

    • Les droites (IJ) et (BC) appartiennent au plan (AIJ), qui contient la face inférieure du pavé.

    • Clique ICI pour revoir le cours sur l'intersection de 2 plans.
      Les droites (IJ) et (BC) sont sécantes en un point M.
      Donc, comme (IJ) est dans le plan (IJG), le point M est aussi dans le plan (IJG).
      Et de même, comme (BC) est dans le plan (BCG), le point M est aussi dans le plan (BCG).
      Par ailleurs, le point G est évidemment dans les plans (IJG) et (BCG).
      Nous avons donc trouvé 2 points, M et G, qui appartiennent à la fois à (IJG) et à (BCG).
      Donc les plans (IJG) et (BCG) se coupent selon la droite (MG).
      plans qui se coupent
    • La construction est ci-dessous.
      Explication non demandée: Le point N est sur (BF), et donc dans le plan (BCG). Or il est aussi dans (IJG). Donc il est dans l'intersection de (IJG) et (BCG), c'est à dire sur (MG). Finalement, il est à l'intersection des droites (MG) et (BF).
      plan et droite
      Remarque: nous pouvons calculer rapidement la distance BN en utilisant 2 fois le théorème de Thalès.
      $\{\table (AJ)\/\/(BM); I∈[AB]; I∈[JM]$     donc: ${MB}/{JA}={BI}/{AI}$      soit: ${MB}/{1}={1}/{1}$     et donc: MB=1
      $\{\table (BN)\/\/(CG); B∈[MC]; N∈[MG]$     donc: ${NB}/{GC}={BM}/{CM}$      soit: ${NB}/{3}={1}/{5}$     et donc: $NB={3}/{5}$
      Nous retrouverons péniblement cette valeur dans la question 2.

  1. L'espace est muni d'un repère orthonormal, ce qui autorise tous calculs de distances, normes ou produits scalaires.

    • Clique ICI pour revoir le cours sur les vecteurs normaux à un plan.
      On obtient facilement: ${IJ}↖{→}$($-1$ ; 1 ; 0).
      On calcule alors: ${IJ}↖{→}.{n}↖{→}=(-1)×1+1×1+0×=0$.
      De même, on obtient facilement: ${IG}↖{→}$(1 ; 4 ; 3).
      On calcule alors: ${IG}↖{→}.{n}↖{→}=1×1+4×1+3×(-{5}/{3}=0$.
      Or le plan (IJG) admet pour vecteurs directeurs ${IJ}↖{→}$ et ${IG}↖{→}$.
      Donc le vecteur ${n}↖{→}$ est normal au plan (IJG).

    • Clique ICI pour revoir quelques notions sur les équations cartésiennes de plan.

      Comme ${n}↖{→}$(1 ; 1 ;$-{5}/{3}$) est normal à (IJG), ce dernier admet une équation du type: $x+y-{5}/{3}z+d=0$.
      Or, commme I (1 ; 0 ; 0) est dans (IJG), ses coordonnées vérifient cette équation.
      Donc: $1+0-{5}/{3}×0+d=0$, et par là: $d=-1$.
      Donc (IJG) a pour équation cartésienne: $x+y-{5}/{3}z-1=0$.

    • Clique ICI pour revoir quelques notions sur les représentations paramétriques (de droites et de plans).
      On obtient facilement: ${BF}↖{→}$(0 ; 0 ; 3).
      Or B a pour coordonnées (2 ; 0 ; 0).
      Donc la droite (BF) admet pour représentation paramétrique $\{\table x=2; y=0; z=3t$
      Le point N, intersection du plan (IJG) et de la droite (BF), voit ses coordonnées ($x$ ; $y$ ; $z$) satisfaire à l'équation cartésienne du plan et à la représentation paramétrique:
      Donc: $\{\table x=2; y=0; z=3t$      et      $x+y-{5}/{3}z-1=0$.
      D'où: $2+0-{5}/{3}×3t-1=0$.
      Et par là: $t={1}/{5}$.
      On obtient donc finalement: $\{\table x=2; y=0; z={3}/{5}$.
      Donc N a pour coordonnées (2 ; 0 ; ${3}/{5}$).
      Nous retrouvons la valeur remarquée dans la question 1.

  2. La section est INGPJ, en rouge sur le dessin.
    Vous noterez que (PJ) et (GN) sont parallèles, car le plan (IJG) coupe 2 faces parallèles selon 2 droites parallèles.
    Pour une raison analogue, (IN) est parallèle à (PG)

    section de parallélépipède
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