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Représentations paramétriques et équations cartésiennes

A SAVOIR: le cours sur Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Exercice 6

L'espace est muni du repère orthonormal (O, I, J, K).
A a pour coordonnées (0 ; 1 ; 2), B a pour coordonnées (1 ; 0 ; 5),
C a pour coordonnées (2 ; $-1$ ; 0), D a pour coordonnées (-3 ; 0 ; 0),
E a pour coordonnées ($-0,5$ ; $-0,5$ ; 4) et H a pour coordonnées (2 ; 1 ; 1).

  1. Les points A, B et C sont-ils alignés?
  2. Le vecteur ${n}↖{→}$ (1 ; 1 ; 0) est-il un vecteur normal au plan (ABC)?
  3. La droite (DE) et le plan (ABC) sont-ils sécants en un point F tel que E soit le milieu du segment [DF]?
  4. Les droites (AB) et (CH) sont-elles sécantes?

Solution...
Corrigé

  1. Clique ICI pour revoir quelques notions sur les représentations paramétriques (de droites et de plans).
    On obtient facilement: ${AB}↖{→}$(1 ; $-1$ ; 3).
    La droite (AB) passe par A(0,1,2) et a pour vecteur directeur ${AB}↖{→}$(1 ; $-1$ ; 3).
    Donc (AB) admet pour représentation paramétrique $\{\table x=0+t; y=1-t; z=2+3t$
    Or, si C(2,$-1$,0) appartenait à la droite (AB), il existerait un réel $t$ tel que$\{\table 2=0+t; -1=1-t; 0=2+3t$
    $⇔$ $\{\table t=2; -1=1-2; 0=2+3×2$ $⇔$ $\{\table t=2; -1=-1; 0=8$
    La dernière ligne est absurde.
    Donc C n'est pas sur la droite (AB).
    Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
    C'est pourquoi nous pouvons parler du plan (ABC) dans les questions qui suivent...

    Autre méthode:
    A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont colinéaires.
    On obtient facilement: ${AB}↖{→}$(1 ; $-1$ ; 3) et ${AC}↖{→}$(2 ; $-2$ ; $-2$).
    Le vecteur ${AB}↖{→}$ n'étant pas nul, ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que ${AC}↖{→}=k.{AB}↖{→}$.
    Soit: $\{\table 2=k×1; -2=k×(-1); -2=k×3$
    Soit: $\{\table 2=k; 2=k; {-2}/{3}=k$
    Or les 2 dernières lignes sont contradictoires.
    Donc les vecteurs ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ ne sont pas colinéaires.
    Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

  2. Clique ICI pour revoir le cours sur les vecteurs normaux à un plan.
    Notons que le repère est orthonormé, ce qui nous autorise à calculer des produits scalaires.
    Les vecteurs ${AB}↖{→}$(1 ; $-1$ ; 3) et ${AC}↖{→}$(2 ; $-2$ ; $-2$) sont 2 vecteurs directeurs du plan (ABC).
    Or: ${AB}↖{→}.{n}↖{→}=1×1+(-1)×1+3×0=0$
    Et: ${AC}↖{→}.{n}↖{→}=2×1+(-2)×1+(-2)×0=0$
    Donc le vecteur ${n}↖{→}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

  3. Comme (ABC) admet ${n}↖{→}(1,1,0)$ pour vecteur normal, on en déduit que (ABC) admet une équation cartésienne du type: $1x+1y+0z+d=0$, soit: $x+y+d=0$.
    Or le point $A(0,1,2)$ appartient à (ABC).
    Donc: $0+1+d=0$, et par là: $d=-1$.
    Donc (ABC) a pour équation cartésienne: $x+y-1=0$   (1).
    Par ailleurs, on obtient facilement: ${DE}↖{→}$(2,5 ; $-0,5$ ; 4).
    La droite (DE) passe par D($-3$,0,0) et a pour vecteur directeur ${DE}↖{→}$(2,5 ; $-0,5$ ; 4).
    Donc (DE) admet pour représentation paramétrique: $\{\table x=-3+2.5t; y=0-0.5t; z=0+4t$
    Soit $F(x,y,z)$ le point d'intersection de (DE) et (ABC) (s'il existe).
    F étant sur (DE), il existe donc un réel $t$ tel que $\{\table x=-3+2.5t; y=0-0.5t; z=0+4t$
    Et comme F appartient à (ABC), on obtient, en reportant dans (1): $-3+2,5t-0,5t-1=0$.
    Et par là: $t=2$.
    Le réel $t$ existe et est unique, ce qui prouve que (DE) et (ABC) sont bien sécants.
    Leur point d'intersection F a pour coordonnées: $\{\table x=-3+2.5×2; y=0-0.5×2; z=0+4×2$
    On a donc F ( 2 ; $-1$ ; 8 ).
    Il reste à vérifier si E est le milieu du segment [DF].
    On a: ${x_D+x_F}/{2}={-3+2}/{2}=-0,5=x_E$
    Et: ${y_D+y_F}/{2}={0+(-1)}/{2}=-0,5=y_E$
    Et: ${z_D+z_F}/{2}={0+8}/{2}=4=z_E$
    Donc E est effectivement le milieu du segment [BF].

  4. Clique ICI pour revoir la géométrie dans l'espace.
    Pour que les droites (AB) et (CH) soient sécantes, il est nécessaire qu'elles soient coplanaires. Montrons que ce n'est pas le cas.
    Si (AB) et (CH) étaient coplanaires, alors le point H appartiendrait au plan (ABC).
    Or: $x_H+y_H-1=2+1-1=2$. Et donc: $x_H+y_H-1=2+1-1≠0$.
    Les coordonnées de H ne vérifient donc pas l'équation cartésienne de (ABC).
    Donc H n'est pas dans (ABC). Et donc (AB) et (CH) ne sont pas sécantes.

    Autre méthode (utile si on ne dispose pas de l'équation cartésienne de (ABC))
    On obtient facilement une représentation paramétrique de (CH): $\{\table x=2+0t'; y=-1+2t'; z=0+1t'$
    Or (AB) admet pour représentation paramétrique $\{\table x=0+t; y=1-t; z=2+3t$
    Les coordonnées du point d'intersection des 2 droites vérifient les 2 représentations.
    D'où: $\{\table 2+0t'=0+t; -1+2t'=1-t; 0+1t'=2+3t$
    Soit: $\{\table 2=t; -1+2t'=1-2; 1t'=2+3×2$
    Soit: $\{\table 2=t; t'=0; t'=8$
    Les 2 dernières lignes étant contradictoires, le point d'intersection des 2 droites n'existe pas. Et par là, les droites ne sont pas sécantes.
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